Seja T: V (W,<,>) uma aplicação linear injetora. Mostre que:
<u, v>0=<T(u), T(v)>, u, v in V define em um produto interno <,>0 em V, dito induzido por T.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V e um espaço com produto interno (W,lang<=,,rang<=), além de uma aplicação linear injetora Tcolon Vto W. Definimos em V a forma bilinear
lang<= u,vrang<=0 ;=;lang<= T(u),T(v)rang<=
e queremos mostrar que isso é de fato um produto interno em V. Para isso precisamos verificar três propriedades: simetria, bilinearidade (linearidade no primeiro argumento e simetria dá linearidade no segundo, pois estamos em campo real) e positividade definida.

Passo 2

(Simetria) Para quaisquer u,vin V, usando a simetria do produto interno em W temos
lang<= u,vrang<=0 =lang<= T(u),T(v)rang<= =lang<= T(v),T(u)rang<= =lang<= v,urang<=0

Passo 3

(Linearidade no primeiro argumento) Se u1,u2,vin V e a,binR, então pela linearidade de T e do produto interno em W
lang<= a,u1 + b,u2,;vrang<=0 =lang<= T(a,u1 + b,u2),,T(v)rang<= =lang<= a,T(u1)+b,T(u2),,T(v)rang<= =a,lang<= T(u1),T(v)rang<= + b,lang<= T(u2),T(v)rang<= =a,lang<= u1,vrang<=0 + b,lang<= u2,vrang<=0

Passo 4

(Positividade definida) Para todo uin V
lang<= u,urang<=0 =lang<= T(u),T(u)rang<= >= 0
e a igualdade só ocorre quando T(u)=0. Como T é injetora, T(u)=0 implica u=0. Logo
lang<= u,urang<=0=0;Long<=ftrightarrow;u=0

Passo 5

Concluímos que lang<=,,rang<=0 satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, ou seja, é um produto interno em V, exatamente o produto interno induzido por T.

Resposta

lang<= u,vrang<=0=lang<= T(u),T(v)rang<= é de fato um produto interno em V.

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