Seja
uma aplicação linear injetora. Mostre que:
define em um produto interno
em
, dito induzido por
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
e um espaço com produto interno
, além de uma aplicação linear injetora
. Definimos em
a forma bilinear
e queremos mostrar que isso é de fato um produto interno em
. Para isso precisamos verificar três propriedades: simetria, bilinearidade (linearidade no primeiro argumento e simetria dá linearidade no segundo, pois estamos em campo real) e positividade definida.
Passo 2
(Simetria) Para quaisquer
, usando a simetria do produto interno em
temos
Passo 3
(Linearidade no primeiro argumento) Se
e
, então pela linearidade de
e do produto interno em
Passo 4
(Positividade definida) Para todo
e a igualdade só ocorre quando
. Como
é injetora,
implica
. Logo
Passo 5
Concluímos que
satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, ou seja, é um produto interno em
, exatamente o produto interno induzido por
.