Se
é um espaço vetorial, prove que a adjunta de
, onde
, é
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com produto interno
e que
é o operador definido por
onde
são vetores fixos. Precisamos usar a definição de adjunta: o operador
satisfaz, para todos
,
Passo 2
Calculemos
. Pela definição de
e pelas propriedades do produto interno, temos
Passo 3
Para satisfazer
devemos ter
Mas também vale a propriedade de linearidade (ou conjugada, no caso complexo) no segundo argumento, logo se escolhermos
então
Passo 4
Como o adjunto é único, concluímos que a fórmula acima é a definição correta de
.