Se E é um espaço vetorial, prove que a adjunta de A: E E, onde A v=lang<= v, arang<= b, é A^* v=lang<= v, brang<= a.

Passo 1

O enunciado diz que E é um espaço vetorial com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e que A:Eto E é o operador definido por
A v = lang<= v,arang<=,b,
onde a,bin E são vetores fixos. Precisamos usar a definição de adjunta: o operador A^* satisfaz, para todos v,win E,
lang<= A v,,wrang<= ;=;lang<= v,,A^* wrang<=

Passo 2

Calculemos lang<= A v,,wrang<=. Pela definição de A e pelas propriedades do produto interno, temos
lang<= A v,,wrang<= =llang<= lang<= v,arang<=,b,;wrrang<= =lang<= v,arang<=;lang<= b,wrang<=

Passo 3

Para satisfazer lang<= A v,,wrang<==lang<= v,,A^* wrang<= devemos ter
lang<= v,,A^* wrang<= =lang<= v,arang<=;lang<= b,wrang<=
Mas também vale a propriedade de linearidade (ou conjugada, no caso complexo) no segundo argumento, logo se escolhermos
A^* w = lang<= w,brang<=,a
então
lang<= v,,A^* wrang<= =llang<= v,lang<= w,brang<=,arrang<= =lang<= w,brang<=,lang<= v,arang<= =lang<= v,arang<=,lang<= b,wrang<= =lang<= A v,,wrang<=

Passo 4

Como o adjunto é único, concluímos que a fórmula acima é a definição correta de A^*.

Resposta

A^*v = lang<= v,brang<=,a

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