Seja uma sequência (v1, v2, ldots, vn ), considerando a combinação linear entre estes vetores, qual a condição necessária que a sequência (v1, v2, ldots, vn ) seja linearmente independente?

Passo 1

O enunciado fala sobre linearidade de uma sequência de vetores (vec v1,vec v2,dots,vec vn) e pede a condição que garante que eles sejam linearmente independentes. Para isso vamos usar a definição via combinação linear: investigamos todas as formas de escrever o vetor nulo como combinação desses vetores.

Passo 2

Uma sequência de vetores é linearmente independente exatamente quando a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial. Em outras palavras, se considerarmos escalares c1,c2,dots,cn tais que
c1,vec v1 + c2,vec v2 + cdots + cn,vec vn = vec 0,
então a condição de independência é que necessariamente
c1 = c2 = cdots = cn = 0

Resposta

A condição necessária e suficiente para que (vec v1,vec v2,dots,vec vn) seja linearmente independente é que a única solução da combinação
c1,vec v1 + c2,vec v2 + cdots + cn,vec vn = vec 0
seja c1 = c2 = cdots = cn = 0.

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