Sabe-se que o consumo diário de água dos moradores de certo bairro pode ser modelado por uma distribuição normal de média 450 m^3 / dia e desvio padrão 80 m^3 / dia.
Determine:
A probabilidade de que em certo dia o consumo de água seja superior a 530 m^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que o consumo diário de água dos moradores de um bairro segue uma distribuição normal com média de 450 m^3/dia e desvio padrão de 80 m^3/dia. O que queremos descobrir é a probabilidade de, em um dia qualquer, o consumo de água ser maior que 530 m^3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades.

Passo 2

Vamos relembrar o que é uma distribuição normal. É uma distribuição de probabilidade em forma de sino, onde a média ( mu) é o centro e o desvio padrão ( sigma) mede a dispersão dos dados em relação à média. No nosso caso, a média é 450 m^3/dia e o desvio padrão é 80 m^3/dia. Queremos saber a probabilidade de o consumo ser maior que 530 m^3, ou seja, vamos calcular a área sob a curva normal à direita de 530.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos converter o valor 530 m^3 para um valor padronizado, conhecido como z-score. A fórmula para isso é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos padronizar ( 530 m^3)
  • mu é a média ( 450 m^3/dia)
  • sigma é o desvio padrão ( 80 m^3/dia)
Substituindo os valores:
z = 530 - 45080 = 8080 = 1
Então, o z-score é 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse z-score na tabela de distribuição normal padrão. A tabela nos dá a probabilidade de um valor estar abaixo de um certo z. Como queremos a probabilidade de ser maior que 530 m^3, vamos calcular P(Z > 1).
Sabemos que a probabilidade total sob a curva normal é 1. A tabela nos dá P(Z < 1) approx 0,8413. Então,
P(Z > 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

Resposta

A probabilidade de que, em um dia qualquer, o consumo de água seja superior a 530 m^3 é de aproximadamente 15,87%.

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