Com base na análise de futuras demandas de seus produtos, o departamento financeiro da Topada Corporation determinou que existe uma probabilidade de 0,17 de que a empresa venha a perder \mathrm{R} \ 1,2 milhão no próximo ano; uma probabilidade de 0,21 de que venha a perderãó\mathrm{R} $0,7 milhão; uma probabilidade de 0,37 de que venha a obter um lucro deã\mathrm{R} $ 0,9 milhão; e uma probabilidade de 0,25 de que venha a obter um lucro deã\mathrm{R} $2,3$ milhões.
a. Faça com que \boldsymbol{x} represente uma variável aleatória que corresponda ao lucro obtido por essa empresa no próximo ano. Construa a distribuição de probabilidades para \boldsymbol{x}.
b. Encontre a média aritmética e o desvio-padrão da distribuição de probabilidades construída no item a. Apresente uma interpretação sucinta para o valor da média aritmética.

Passo 1

O enunciado nos dá as possíveis variações do lucro (em milhões de reais) de uma empresa no próximo ano e suas respectivas probabilidades. Precisamos definir a variável aleatória discreta X que representa esse lucro e, a partir daí, construir sua distribuição de probabilidade, calcular a média \mathbb{E}[X] e o desvio‐padrão \sigma_X.

Passo 2

Definimos
X = \begin{cases} -1,2, & \text{com probabilidade }0,17,\\\\ -0,7, & \text{com probabilidade }0,21,\\\ \phantom{-}0,9, & \text{com probabilidade }0,37,\\\ \phantom{-}2,3, & \text{com probabilidade }0,25. \end{cases}
Ou, em forma de tabela:
\begin{array}{c|cccc} x & -1,2 & -0,7 & 0,9 & 2,3\\hline P(X=x) & 0,17 & 0,21 & 0,37 & 0,25 \end{array}

Passo 3

Para achar a média, usamos
\mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i\,P(X=x_i).
Logo,
\mathbb{E}[X] = (-1,2)\cdot0,17 + (-0,7)\cdot0,21 + 0,9\cdot0,37 + 2,3\cdot0,25 = 0,557.

Passo 4

O desvio‐padrão é a raiz quadrada da variância, que se calcula por
\mathrm{Var}(X) = \sum_{i}\bigl(x_i - \mathbb{E}[X]\bigr)^2\,P(X=x_i).
Calculando cada termo:
\begin{aligned} (-1,2 - 0,557)^2\cdot0,17 &= 3,0870\cdot0,17 \approx0,5248,\\\ (-0,7 - 0,557)^2\cdot0,21 &= 1,5800\cdot0,21 \approx0,3318,\\\ (0,9 - 0,557)^2\cdot0,37 &= 0,1176\cdot0,37 \approx0,0435,\\\ (2,3 - 0,557)^2\cdot0,25 &= 3,0362\cdot0,25 \approx0,7591. \end{aligned}
Somando,
\mathrm{Var}(X)\approx0,5248+0,3318+0,0435+0,7591 = 1,6592,
e
\sigma_X = \sqrt{1,6592}\approx1,288.

Resposta

A distribuição de probabilidade de X (lucro em milhões) é
P(X=-1,2)=0,17,\quad P(X=-0,7)=0,21,\quad P(X=0,9)=0,37,\quad P(X=2,3)=0,25.
A média é
\mathbb{E}[X]=0,557\text{ milhão},ã
e o desvio‐padrão é
\sigma_X\approx1,288\text{ milhão}.ã
Interpretação da média: em longo prazo, a empresa espera, em média, obter um lucro de R$ 0,557 milhão por ano.

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