1. A duração em centenas de horas de uma lâmpada de certo tipo é uma V.A.C. X com f.d.p. definida por:
    f(x)=\left\{\begin{aligned} a x, & \text { se } 0<x<10 \\\\ 0, & \text { p.o.v }(\text { a êuma constante real })\end{aligned}\right.ê
    a) Determine o valor da constante a ; \quad[a=1 / 50]
    b)Determine a probabilidade de 1 lâmpada desse tipo durar:
    i. Menos de 300 horas; [9%]
    ii. Mais de 500 horas; [75%]
    iii. Mais de 300 horas, mas menos de 500 horas.

Passo 1

O enunciado diz que a variável aleatória contínua X\) representa a duração, em centenas de horas, de uma lâmpada, e tem densidade de probabilidade \[f(x)= \begin{cases} a\,x, & 0<x<10,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
onde a\] é uma constante a determinar. Precisamos (a) achar \(a pela condição de normalização e (b) calcular
i. \Pr(X<3),
ii. \Pr(X>5),
iii. \Pr(3<X<5),
sabendo que 300 horas correspondem a X=3 e 500 horas a X=5.

Passo 2

Para determinar a usamos
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{10}a\,x\,dx =a\int_{0}^{10}x\,dx =a\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{10} =a\cdot\frac{10^{2}}{2} =a\cdot 50 =1.
Logo,
a=\frac{1}{50}.

Passo 3

Para \Pr(X<3) fazemos
\Pr(X<3) =\int_{0}^{3}\frac{1}{50}\,x\,dx =\frac{1}{50}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3} =\frac{1}{50}\cdot\frac{9}{2} =\frac{9}{100} =0,09\;(9\%).

Passo 4

Para \Pr(X>5) calculamos
\Pr(X>5) =\int_{5}^{10}\frac{1}{50}\,x\,dx =\frac{1}{50}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{5}^{10} =\frac{1}{50}\cdot\frac{100-25}{2} =\frac{75}{100} =0,75\;(75\%).

Passo 5

Para \Pr(3<X<5) podemos usar a soma das partes ou integral direta:
\Pr(3<X<5) =\int_{3}^{5}\frac{1}{50}\,x\,dx =\frac{1}{50}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{3}^{5} =\frac{1}{50}\cdot\frac{25-9}{2} =\frac{16}{100} =0,16\;(16\%).

Resposta

a=\tfrac{1}{50}
i. \Pr(X<3)=0,09 (9 %)
ii. \Pr(X>5)=0,75 (75 %)
iii. \Pr(3<X<5)=0,16 (16 %)

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