A base de uma aquário em formato de um paralelepípedo com volume de 20 m^3 é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço do metro quadrado da ardósia custa 50 reais e o preço do metro quadrado do vidro custa 10 reais, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um aquário que é um paralelepípedo com volume de . A base é feita de ardósia e as laterais são de vidro. Queremos encontrar as dimensões desse aquário que fazem o custo dos materiais ser o menor possível. Vamos usar conceitos de otimização, que é uma parte da matemática que ajuda a encontrar valores máximos ou mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • V = L times W times H = 20 , m^3 : comprimento do aquário (em metros)
  • : largura do aquário (em metros)
  • : altura do aquário (em metros)
Sabemos que o volume do aquário é dado por:
Isso nos dá uma equação que relaciona as três dimensões.

Passo 3

Agora, vamos calcular o custo dos materiais. Temos:
  • Custo da ardósia (base): R$50 por metro quadrado.
  • Custo do vidro (laterais): R$10 por metro quadrado.
A área da base é 50 por metro quadrado - Custo do vidro (laterais): R, e a área das laterais inclui duas áreas de C = 50 times (L times W) + 10 times [2 times (L times H) + 2 times (W times H)] e duas áreas de C = 50LW + 20LH + 20WH . Então, o custo total é:
Simplificando:

Passo 4

Queremos minimizar H = 20L times W com a restrição de que C = 50LW + 20L ( 20LW ) + 20W ( 20LW ) . Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a restrição.
Vamos resolver a restrição para C = 50LW + 400W + 400L :
Agora, substituímos na expressão do custo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a gente tem uma função C(L, W) = 50LW + 400W + 400L que depende de partial Cpartial L = 50W - 400L^2 = 0 e partial Cpartial W = 50L - 400W^2 = 0 :
Para encontrar os valores de e que minimizam , vamos usar o método de derivadas parciais.
Calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 6

Resolvendo a primeira equação:
50W = 400L^2 implies W = 40050L^2 = 8L^2
Resolvendo a segunda equação:
50L = 400W^2 implies L = 40050W^2 = 8W^2

Passo 7

Agora, temos L = 8( 8L^2 )^2 = 864L^4 = 8L^464 = L^48 e 8L = L^4 implies L^4 - 8L = 0 implies L(L^3 - 8) = 0 . Vamos substituir L^3 = 8 implies L = 2 , m na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Como não pode ser zero (dimensão inexistente), temos:

Passo 8

Agora que encontramos W = 8(2)^2 = 84 = 2 , m , vamos encontrar H = 20L times W = 202 times 2 = 204 = 5 , m usando :
E por fim, encontramos usando a restrição do volume:

Resposta

As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são:
  • Comprimento (L):
  • Largura (W):
  • Altura (H):

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