A base de uma aquário em formato de um paralelepípedo com volume de
é feita de ardósia e os lados são feitos de vidro. Se o preço do metro quadrado da ardósia custa 50 reais e o preço do metro quadrado do vidro custa 10 reais, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um aquário que é um paralelepípedo com volume de
. A base é feita de ardósia e as laterais são de vidro. Queremos encontrar as dimensões desse aquário que fazem o custo dos materiais ser o menor possível. Vamos usar conceitos de otimização, que é uma parte da matemática que ajuda a encontrar valores máximos ou mínimos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
-
: comprimento do aquário (em metros) -
: largura do aquário (em metros) -
: altura do aquário (em metros)
Sabemos que o volume
do aquário é dado por:
Isso nos dá uma equação que relaciona as três dimensões.
Passo 3
Agora, vamos calcular o custo dos materiais. Temos:
- Custo da ardósia (base): R$50 por metro quadrado.
- Custo do vidro (laterais): R$10 por metro quadrado.
A área da base é
, e a área das laterais inclui duas áreas de
e duas áreas de
. Então, o custo total
é:
Simplificando:
Passo 4
Queremos minimizar
com a restrição de que
. Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a restrição.
Vamos resolver a restrição para
:
Agora, substituímos
na expressão do custo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a gente tem uma função
que depende de
e
:
Para encontrar os valores de
e
que minimizam
, vamos usar o método de derivadas parciais.
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos
e
. Vamos substituir
na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 8:
Como
não pode ser zero (dimensão inexistente), temos:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando
:
E por fim, encontramos
usando a restrição do volume:
Resposta
As dimensões do aquário que minimizam o custo do material são:
- Comprimento (L):
- Largura (W):
- Altura (H):