Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=1x+1y; 1x^2+1y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores máximo e mínimo de
f(x,y)=1x+1y
sujeito à restrição
1x^2+1y^2=1
O conteúdo é otimização com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=1x+1y+lambdal(1x^2+1y^2-1r)
As condições de estacionaridade são
partialLpartial x=-1x^2+lambdal(-2x^3r)=0,
partialLpartial y=-1y^2+lambdal(-2y^3r)=0,
partialLpartial lambda=1x^2+1y^2-1=0

Passo 3

Das duas primeiras equações vem
-1x^2=-2lambdax^3 Longrightarrow 1x^2=2lambdax^3 Longrightarrow x=2lambda,
de modo análogo
y=2lambda
Logo x=y.

Passo 4

Substituindo x=y na restrição
1x^2+1x^2=1 Longrightarrow 2x^2=1 Longrightarrow x^2=2 Longrightarrow x=pmraiz2,
e portanto os pontos críticos são
(x,y)=(raiz2,raiz2) e (-raiz2,-raiz2).

Passo 5

Calculamos f nesses pontos:
f(raiz2,raiz2) =1raiz2+1raiz2 =raiz2,
f(-raiz2,-raiz2) =-1raiz2-1raiz2 =-raiz2

Passo 6

Como em outros pontos da curva a função assume valores entre -1 e 1 assintoticamente, concluímos que
-raiz2 é o valor mínimo e raiz2 é o valor máximo.

Resposta

Máximo de f: raiz2 em (raiz2,raiz2).
Mínimo de f: -raiz2 em (-raiz2,-raiz2).

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