O raio de convergência da série de potências vale:
(a) 2
(b) 4
(c) 3
(d)
(e) n.d.a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências dada:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são essenciais para entender como funções podem ser representadas por somas infinitas. Para encontrar o raio de convergência, que nos diz até onde a série converge (ou seja, funciona), vamos usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar nossos cálculos. Observe que o termo geral da série é:
Podemos reescrever como . Assim, a série fica:
Para facilitar ainda mais, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, a série fica:
Agora temos uma série na forma:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência em termos de .
O Teste da Razão diz que:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.