O raio de convergência da série de potências sum k^33^k+2(x-3)^2 k vale:
(a) 2
(b) 4
(c) 3
(d) raiz3
(e) n.d.a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência da série de potências dada:
sum k^33^k+2(x-3)^2 k
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são essenciais para entender como funções podem ser representadas por somas infinitas. Para encontrar o raio de convergência, que nos diz até onde a série converge (ou seja, funciona), vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a série para facilitar nossos cálculos. Observe que o termo geral da série é:
ak = k^33^k+2(x-3)^2 k
Podemos reescrever 3^k+2 como 3^2 cdot 3^k = 9 cdot 3^k. Assim, a série fica:
sum k^39 cdot 3^k(x-3)^2 k = 19 sum k^33^k(x-3)^2 k
Para facilitar ainda mais, vamos fazer uma substituição: seja y = (x-3)^2. Assim, a série fica:
19 sum k^33^k y^k
Agora temos uma série na forma:
sum ak y^k

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência em termos de y.
O Teste da Razão diz que:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular ak = k^33^k:
ak+1ak = (k+1)^3/3^k+1k^3/3^k = (k+1)^33 cdot k^3 = (k+1)^33k^3
Calculando o limite:
L = limk to infty (k+1)^33k^3 = limk to infty k^3 + 3k^2 + 3k + 13k^3 = 13
Como L = 13 < 1, a série converge para |y| < 3.

Passo 4

Lembrando que fizemos a substituição y = (x-3)^2, então:
|(x-3)^2| < 3
Isso implica:
|x-3| < raiz3
Portanto, o raio de convergência é raiz3.

Resposta

(d) raiz3

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