Calcule a integral iterada
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema nos pede. Temos que calcular a integral dupla
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar trocar a ordem de integração e usar algumas técnicas de integração.
Passo 2
Vamos visualizar a região de integração para facilitar. A integração interna é com respeito a $ y $, de $ \sqrt{x} $ até 2, e a externa é com respeito a $ x $, de 0 até 4. Para trocar a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites.
Quando trocamos a ordem, fixamos $ y $ primeiro. Observamos que $ y $ varia de 0 a 2 (já que $ \sqrt{4} = 2 $). Para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até $ x = y^{2} $ (já que $ y = \sqrt{x} $ implica $ x = y^{2} $).
Passo 3
Com isso, a integral original pode ser reescrita com a ordem dos integrais trocada:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integração interna com respeito a $ x $. Como $ \sin\left(\pi y^{3}\right) $ não depende de $ x $, podemos tratar ela como uma constante em relação a $ x $:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, ficamos com:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição.
Passo 6
Fazendo a substituição $ u = \pi y^{3} $, então $ du = 3\pi y^{2} dy $, o que implica $ y^{2} dy = \frac{du}{3\pi} $. Quando $ y = 0 $, $ u = 0 $ e quando $ y = 2 $, $ u = 8\pi $.
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculando a integral de $ \sin(u) $:
Sabendo que $ \cos(8\pi) = \cos(0) = 1 $:
Resposta
A integral dupla vale $ 0 $.