Calcule a integral iterada
integral0^4 integralraizx^2 sen(pi y^3) d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema nos pede. Temos que calcular a integral dupla
integral0^4 integralraizx^2 sin(pi y^3) , dy , dx
Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar trocar a ordem de integração e usar algumas técnicas de integração.

Passo 2

Vamos visualizar a região de integração para facilitar. A integração interna é com respeito a $ y $, de $ \sqrt{x} $ até 2, e a externa é com respeito a $ x $, de 0 até 4. Para trocar a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites.
Quando trocamos a ordem, fixamos $ y $ primeiro. Observamos que $ y $ varia de 0 a 2 (já que $ \sqrt{4} = 2 $). Para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até $ x = y^{2} $ (já que $ y = \sqrt{x} $ implica $ x = y^{2} $).

Passo 3

Com isso, a integral original pode ser reescrita com a ordem dos integrais trocada:
integral0^2 integral0^y^2 sin(pi y^3) , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos resolver a integração interna com respeito a $ x $. Como $ \sin\left(\pi y^{3}\right) $ não depende de $ x $, podemos tratar ela como uma constante em relação a $ x $:
x

Passo 5

Substituindo de volta na integral, ficamos com:
integral0^2 y^2 sin(pi y^3) , dy
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição.

Passo 6

Fazendo a substituição $ u = \pi y^{3} $, então $ du = 3\pi y^{2} dy $, o que implica $ y^{2} dy = \frac{du}{3\pi} $. Quando $ y = 0 $, $ u = 0 $ e quando $ y = 2 $, $ u = 8\pi $.
Substituindo na integral:
u = pi y^3

Passo 7

Calculando a integral de $ \sin(u) $:
sin(u)
Sabendo que $ \cos(8\pi) = \cos(0) = 1 $:
13pi [ -cos(u) ]0^8pi = 13pi ( -cos(8pi) + cos(0) )

Resposta

A integral dupla vale $ 0 $.

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