A base de um aquário com volume de
é feita de ardósia e os lados são de vidro. se o preço da ardósia equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo material.
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa um aquário retangular de volume
,
cuja base (área
) é feita de ardósia e as quatro faces laterais (duas de área
e duas de área
) são feitas de vidro. O preço da ardósia por unidade de área é cinco vezes o preço do vidro. Precisamos usar otimização de função de várias variáveis com restrição de volume para encontrar
,
e
que minimizem o custo total.
Passo 2
Definimos
e
como as dimensões da base e
como a altura. Sejam
o preço por unidade de área do vidro e
o preço por unidade de área da ardósia. A área da base é
e a área total do vidro é
Logo, o custo total é
Como
é constante, podemos minimizar a função
sujeita à restrição de volume.
Passo 3
A restrição de volume diz
Daqui isolamos
e substituímos em
:
Passo 4
A expressão de
é simétrica em
e
. Pelo princípio de que a solução ótima para problemas assim com custos simétricos ocorre quando
, definimos
Então
e
Passo 5
Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 6
Com
,cm, a altura é
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são:
base de ,cm
,cm e altura de
,cm.
base de