A base de um aquário com volume de 160000 cm^3 é feita de ardósia e os lados são de vidro. se o preço da ardósia equivale a cinco vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o custo material.

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa um aquário retangular de volume 160000, cm^3 cuja base (área xy) é feita de ardósia e as quatro faces laterais (duas de área x h e duas de área y h) são feitas de vidro. O preço da ardósia por unidade de área é cinco vezes o preço do vidro. Precisamos usar otimização de função de várias variáveis com restrição de volume para encontrar x, y e h que minimizem o custo total.

Passo 2

Definimos x e y como as dimensões da base e h como a altura. Sejam p o preço por unidade de área do vidro e 5p o preço por unidade de área da ardósia. A área da base é xy e a área total do vidro é
2(xh)+2(yh)=2h(x+y)
Logo, o custo total é
C = (5p),xy + pl[2h(x+y)r] = pl[5xy + 2h(x+y)r]
Como p>0 é constante, podemos minimizar a função
F(x,y,h)=5xy+2h(x+y)
sujeita à restrição de volume.

Passo 3

A restrição de volume diz
xyh = 160000
Daqui isolamos
h = 160000xy
e substituímos em F:
F(x,y) = 5xy + 2160000xy,(x+y)

Passo 4

A expressão de F(x,y) é simétrica em x e y. Pelo princípio de que a solução ótima para problemas assim com custos simétricos ocorre quando x=y, definimos
x = y = a
Então
h = 160000a^2,
e
F(a) = 5a^2 + 2160000a^2(2a) = 5a^2 + 4cdot160000a

Passo 5

Para minimizar, calculamos a derivada e igualamos a zero:
F'(a) = 10a - 4cdot160000,a^-2 = 0 Longrightarrow 10a^3 = 4cdot160000 Longrightarrow a^3 = 64000 Longrightarrow a = raiz[3]64000 = 40 cm

Passo 6

Com a=40,cm, a altura é
h = 160000a^2 = 16000040^2 = 1600001600 = 100 cm

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são:
base de 40,cm times 40,cm e altura de 100,cm.

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