Considere a função f(x, y)=1+ln (x y-5) e o ponto P=(3,2,1)
determine as equações paramétricas das retas tangentes principais ao gráfico de f no ponto P.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=1+ln(xy-5)
e pede as retas tangentes principais ao seu gráfico no ponto P=(3,2,1).
O conteúdo necessário inclui derivadas parciais para obter os vetores normais e, em seguida, montar as retas tangentes em cada direção coordenada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y)=1+ln(xy-5),
temos
partial fpartial x=yxy-5, partial fpartial y=xxy-5

Passo 3

No ponto (3,2) do domínio, xy-5=3cdot2-5=1. Logo
fx(3,2)=21=2, fy(3,2)=31=3

Passo 4

A reta tangente principal na direção de x (mantendo y=2) tem ponto P=(3,2,1) e vetor diretor dado por
l(1,0,fx(3,2)r)=(1,0,2)
Logo as equações paramétricas são
x=3+t, y=2, z=1+2t

Passo 5

A reta tangente principal na direção de y (mantendo x=3) tem vetor diretor
l(0,1,fy(3,2)r)=(0,1,3)
Portanto suas equações paramétricas são
x=3, y=2+t, z=1+3t

Resposta

ell1: x=3+t, y=2, z=1+2t;
ell2: x=3, y=2+t, z=1+3t

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