para funções de uma variável, é impossível uma função contínua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. No entanto para funções de várias variáveis, esse caso existe. Mostre a função possui apenas dois pontos críticos, ambos pontos de máximo global.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
tem exatamente dois pontos críticos e que ambos são máximos globais.
Conteúdo: derivadas parciais para achar pontos críticos e argumento de que em , com igualdade somente nesses pontos, garantindo máximos globais.
Passo 2
Calcule a derivada parcial em relação a . Defina
então
Logo
Para ser crítico precisamos , isto é,
Passo 3
Agora calcule . Ainda com acima,
Para pontos críticos simultâneos precisamos e .
Se , então em vale só porque , mas em dálogo x=0 não gera ponto crítico.
Então deve ocorrer B=0, ou seja x^2y - x -1 = 0 Longrightarrow y = x+1x^2, xneq0 Substituindo B=0 em partial f/partial x=0 ficamos com -2,(x^2-1),2x = 0 Longrightarrow x=0 (excluído) ou x^2-1 = 0 íAssim x=pm1. Daí (x,y) = l(1,1+11^2r) = (1,2), (x,y) = l(-1,-1+1(-1)^2r) = (-1,0)
Passo 4
Verificamos que não há mais soluções e que os únicos pontos críticos são
(1,2) e (-1,0)
Para ver que são máximos globais note que
f(x,y) = -A^2-B^2 <= 0
para todo (x,y), e a igualdade f=0 ocorre exatamente quando A=0 e B=0, isto é, nos pontos encontrados. Logo ambos são máximos (globais) de valor 0.