para funções de uma variável, é impossível uma função contínua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. No entanto para funções de várias variáveis, esse caso existe. Mostre a função f(x, y)=-(x^2-1)^2-(x^2 y-x-1)^2 possui apenas dois pontos críticos, ambos pontos de máximo global.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y) = -l(x^2-1r)^2 - l(x^2y - x -1r)^2
tem exatamente dois pontos críticos e que ambos são máximos globais.
Conteúdo: derivadas parciais para achar pontos críticos e argumento de que f<=0 em R^2, com igualdade somente nesses pontos, garantindo máximos globais.

Passo 2

Calcule a derivada parcial em relação a y. Defina
A = x^2-1, B = x^2y - x -1,
então
f = -A^2 - B^2
Logo
partial fpartial y = -2,B;partial Bpartial y = -2,(x^2y - x -1);l(x^2r)
Para ser crítico precisamos partial f/partial y=0, isto é,
x^2y - x -1 = 0 ou x=0

Passo 3

Agora calcule partial f/partial x. Ainda com A,B acima,
partial fpartial x = -2,A;partial Apartial x -2,B;partial Bpartial x = -2,(x^2-1),(2x) -2,(x^2y - x -1),(2xy - 1)
Para pontos críticos simultâneos precisamos partial f/partial y=0 e partial f/partial x=0.
  • Se x=0, então em partial f/partial y vale só porque x^2y-x-1=-1ne0, mas em partial f/partial x partial fpartial x|x=0 = -2(-1)cdot0 -2(-1)cdot(-1) = -2neq0, logo x=0 não gera ponto crítico.
  • Então deve ocorrer B=0, ou seja x^2y - x -1 = 0 Longrightarrow y = x+1x^2, xneq0 Substituindo B=0 em partial f/partial x=0 ficamos com -2,(x^2-1),2x = 0 Longrightarrow x=0 (excluído) ou x^2-1 = 0 íAssim x=pm1. Daí (x,y) = l(1,1+11^2r) = (1,2), (x,y) = l(-1,-1+1(-1)^2r) = (-1,0)

Passo 4

Verificamos que não há mais soluções e que os únicos pontos críticos são
(1,2) e (-1,0)
Para ver que são máximos globais note que
f(x,y) = -A^2-B^2 <= 0
para todo (x,y), e a igualdade f=0 ocorre exatamente quando A=0 e B=0, isto é, nos pontos encontrados. Logo ambos são máximos (globais) de valor 0.

Resposta

Os únicos pontos críticos são
(1,2) e (-1,0),
e em ambos f(x,y)=0 é valor máximo global.

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