Considere a função f(x, y)=1+ln (x y-5) e o ponto P=(3,2,1)
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=1+ln(xy-5)
e o ponto P=(3,2,1), que está sobre o gráfico z=f(x,y). Queremos o plano tangente à superfície definida por z=f(x,y) em P. Para isso, usamos a fórmula do plano tangente
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=1+ln(xy-5), temos
fx(x,y)=partialpartial xl[1+ln(xy-5)r] =1xy-5cdot y =yxy-5,
fy(x,y)=partialpartial yl[1+ln(xy-5)r] =1xy-5cdot x =xxy-5

Passo 3

Avaliar as parciais em (x0,y0)=(3,2):
fx(3,2)=23cdot2-5=26-5=2,
fy(3,2)=36-5=31=3

Passo 4

Montar o plano tangente usando f(3,2)=1+ln(6-5)=1:
z - 1 = 2,(x - 3) + 3,(y - 2)

Passo 5

Simplificar a equação:
z - 1 = 2x - 6 + 3y - 6 Longrightarrow z = 2x + 3y - 11

Resposta

z = 2x + 3y - 11

Exercícios relacionados