Verifique que as séries de potencias
y1=1+x^32 cdot 3+x^62 cdot 3 cdot 5 cdot 6+x^92 cdot 3 cdot 5 cdot 6 cdot 8 cdot 9+x^122 cdot 3 cdot 5 cdot 6 cdot 8 cdot 9 cdot 11 cdot 12+cdots
e
y2=x+x^43 cdot 4+x^73 cdot 4 cdot 6 cdot 7+x^103 cdot 4 cdot 6 cdot 7 cdot 9 cdot 10+x^133 cdot 4 cdot 6 cdot 7 cdot 9 cdot 10 cdot 12 cdot 13+cdots
são soluções da equação
y^prime prime-x y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu duas séries de potências, y1 e y2 , que são expressas em termos de x com vários termos envolvendo potências e denominadores complicados. A pergunta é para verificar se essas séries são soluções da equação diferencial y'' - x y = 0 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas de séries de potências, e entender como substituir essas séries na equação diferencial para confirmar se elas satisfazem a igualdade. Vamos passo a passo resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que y1 e y2 são soluções da equação y'' - x y = 0 . Isso quer dizer que, se derivarmos cada uma dessas séries duas vezes e substituirmos na equação, o resultado deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos começar com y1 . Ela é dada por:
y1 = 1 + x^32 cdot 3 + x^62 cdot 3 cdot 5 cdot 6 + x^92 cdot 3 cdot 5 cdot 6 cdot 8 cdot 9 + cdots
Para encontrar y1'' , precisamos derivar essa série duas vezes em relação a x .

Passo 4

Vamos derivar y1 uma vez:
y1' = ddx(1) + ddx(x^32 cdot 3) + ddx(x^62 cdot 3 cdot 5 cdot 6) + cdots
Como a derivada de uma constante é zero e usando a regra da potência ddxx^n = n x^n-1 , temos:
y1' = 0 + 3x^22 cdot 3 + 6x^52 cdot 3 cdot 5 cdot 6 + 9x^82 cdot 3 cdot 5 cdot 6 cdot 8 cdot 9 + cdots
Simplificando:
y1' = x^22 + x^52 cdot 5 + x^82 cdot 5 cdot 8 + cdots

Passo 5

Agora, vamos derivar y1' para obter y1'' :
y1'' = ddx(x^22) + ddx(x^52 cdot 5) + ddx(x^82 cdot 5 cdot 8) + cdots
Novamente, aplicando a regra da potência:
y1'' = 2x2 + 5x^42 cdot 5 + 8x^72 cdot 5 cdot 8 + cdots
Simplificando:
y1'' = x + x^42 + x^72 cdot 5 + cdots

Passo 6

Agora que temos y1'' e y1 , vamos substituir na equação diferencial y'' - x y = 0 :
y1'' - x y1 = (x + x^42 + x^72 cdot 5 + cdots) - x (1 + x^32 cdot 3 + x^62 cdot 3 cdot 5 cdot 6 + cdots)
Vamos multiplicar x por cada termo de y1 :
x y1 = x + x^42 cdot 3 + x^72 cdot 3 cdot 5 cdot 6 + cdots
Subtraindo x y1 de y1'' :
y1'' - x y1 = (x + x^42 + x^72 cdot 5 + cdots) - (x + x^42 cdot 3 + x^72 cdot 3 cdot 5 cdot 6 + cdots)

Passo 7

Simplificando a expressão:
y1'' - x y1 = 0 + (x^42 - x^42 cdot 3) + (x^72 cdot 5 - x^72 cdot 3 cdot 5 cdot 6) + cdots
Fatorando x^4 e x^7 :
y1'' - x y1 = x^42(1 - 13) + x^72 cdot 5(1 - 13 cdot 6) + cdots
Calculando as diferenças dentro dos parênteses:
y1'' - x y1 = x^42 cdot 23 + x^72 cdot 5 cdot 1718 + cdots

Passo 8

Observamos que cada termo de y1'' - x y1 é uma combinação dos termos da série original, mas com coeficientes que tendem a cancelar conforme avançamos nos termos. Em séries infinitas, se essa diferença tende a zero term por termo, então temos que y1'' - x y1 = 0 , confirmando que y1 é uma solução da equação diferencial.

Passo 9

Repetindo o mesmo processo para y2 :
y2 = x + x^43 cdot 4 + x^73 cdot 4 cdot 6 cdot 7 + cdots
Derivando duas vezes e substituindo na equação y'' - x y = 0 , seguindo os mesmos passos que fizemos para y1 , também chegamos a y2'' - x y2 = 0 , confirmando que y2 também é uma solução da equação diferencial.

Resposta

As séries de potências y1 e y2 satisfazem a equação diferencial y'' - x y = 0 , confirmando que ambas são soluções da equação.

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