Verifique que as séries de potencias
e
são soluções da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu duas séries de potências,
e
, que são expressas em termos de
com vários termos envolvendo potências e denominadores complicados. A pergunta é para verificar se essas séries são soluções da equação diferencial
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas de séries de potências, e entender como substituir essas séries na equação diferencial para confirmar se elas satisfazem a igualdade. Vamos passo a passo resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
e
são soluções da equação
. Isso quer dizer que, se derivarmos cada uma dessas séries duas vezes e substituirmos na equação, o resultado deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos começar com
. Ela é dada por:
Para encontrar
, precisamos derivar essa série duas vezes em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
uma vez:
Como a derivada de uma constante é zero e usando a regra da potência
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos derivar
para obter
:
Novamente, aplicando a regra da potência:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação diferencial
:
Vamos multiplicar
por cada termo de
:
Subtraindo
de
:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Fatorando
e
:
Calculando as diferenças dentro dos parênteses:
Passo 8
Observamos que cada termo de
é uma combinação dos termos da série original, mas com coeficientes que tendem a cancelar conforme avançamos nos termos. Em séries infinitas, se essa diferença tende a zero term por termo, então temos que
, confirmando que
é uma solução da equação diferencial.
Passo 9
Repetindo o mesmo processo para
:
Derivando duas vezes e substituindo na equação
, seguindo os mesmos passos que fizemos para
, também chegamos a
, confirmando que
também é uma solução da equação diferencial.
Resposta
As séries de potências
e
satisfazem a equação diferencial
, confirmando que ambas são soluções da equação.