Determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada:
(J. Stewart, p. 857)
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo da função
na região
Informações dadas (lista clara):
- A função é
. - A região
é o primeiro quadrante cortado pelo disco de raio : temos , e . - O objetivo é encontrar o valor máximo e o valor mínimo de
em toda a região , e em que ponto(s) esses valores ocorrem.
Passo 2
Observação importante (teorema usado): uma função contínua definida em um conjunto compacto (fechado e limitado) atinge máximo e mínimo. Vou aplicar isso aqui.
- A função
é polinomial, logo contínua em todo . - A região
é fechada e limitada (é o fecho do setor do disco), portanto compacta.
Conclusão: existem pontos emonde atinge valor máximo e valor mínimo. Agora vamos encontrá-los.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior de
(pontos com
e
e
):
Calcule as derivadas parciais:
Calcule as derivadas parciais:
Um ponto crítico interior deve satisfazer
e
simultaneamente. Então:
Mas
não é interior (fica na fronteira
). Portanto não há pontos críticos no interior com
. Conclusão: quaisquer extremos devem ocorrer na fronteira de
.
Passo 4
Descrever a fronteira de
. A fronteira é a união de três partes:
- segmento vertical:
(a reta ), - segmento horizontal:
(a reta ), - arco do círculo:
(um quarto de circunferência).
Vou analisar cada uma separadamente.
Passo 5
Analisar a fronteira 1:
, com
.
Substituindo em
:
Portanto todos esses pontos dão valor
. Eles são candidatos a mínimo (ou máximo se não existir valor maior/menor), mas ainda temos que comparar com outras partes da fronteira.
Passo 6
Analisar a fronteira 2:
, com
.
Substituindo em
:
Novamente, esses pontos também dão valor
.
Passo 7
Analisar a fronteira 3: arco do círculo
com
.
Método prático (parametrização do arco): usar com
. Isso parametriza o quarto de círculo do primeiro quadrante. Substituindo em
:
Método prático (parametrização do arco): usar
Agora precisamos maximizar
para
.
Passo 8
Maximização de
. Para simplificar a derivação, estudamos
;
, então máximos de
e
ocorrem nos mesmos
.
Calcule pelo produto e pela regra da cadeia:
Calcule
Derivando:
Fatorando
:
Zerar
dá candidatos:
-
(ou , fora do intervalo); em , . -
. Usando , obtemos
Como
,
(positiva) e então
Outra forma foi encontrar
, mesma solução no primeiro quadrante.
Passo 9
Avaliar
nos pontos críticos do arco e nos extremos do intervalo
e
.
- Em
: . - Em
: . - No crítico interior do arco com
:
calcule:
O ponto correspondente (usar a parametrização) é
Logo em
temos
. Como
em
(produto de não-negativos), esse é candidato a máximo global e os zeros vistos nas arestas são candidatos a mínimo global.
Passo 10
Comparando todos os valores candidatos:
- Valores
obtidos ao longo das arestas e e nos extremos do arco ( ). - Valor
obtido em sobre o arco do círculo.
Como não há valores negativos (já queimplicam ), o mínimo global é e o máximo global é . Conclusão final abaixo.
Resposta
Máximo:
, atingido em
.
Mínimo: , atingido em todos os pontos da fronteira com
ou
(isto é,
).
Mínimo: