Determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada:
f(x, y)=x y^{2}, R=\left\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x^{2}+y^{2} \leq 3\right\} (J. Stewart, p. 857)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximo e mínimo da função \,f(x,y)=x y^{2}\, na região
R=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x^{2}+y^{2}\le 3\}.
Informações dadas (lista clara):
  • A função é \,f(x,y)=x y^{2}\,.
  • A região R é o primeiro quadrante cortado pelo disco de raio \sqrt{3}: temos x\ge0, y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le3.
  • O objetivo é encontrar o valor máximo e o valor mínimo de f em toda a região R, e em que ponto(s) esses valores ocorrem.

Passo 2

Observação importante (teorema usado): uma função contínua definida em um conjunto compacto (fechado e limitado) atinge máximo e mínimo. Vou aplicar isso aqui.
  • A função \,f(x,y)=x y^{2}\, é polinomial, logo contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A região R é fechada e limitada (é o fecho do setor do disco), portanto compacta.
    Conclusão: existem pontos em R onde f atinge valor máximo e valor mínimo. Agora vamos encontrá-los.

Passo 3

Procurar pontos críticos no interior de R (pontos com x>0 e y>0 e x^{2}+y^{2}<3):
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{2},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2xy.
Um ponto crítico interior deve satisfazer \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0 simultaneamente. Então:
y^{2}=0\Rightarrow y=0.
Mas y=0 não é interior (fica na fronteira y=0). Portanto não há pontos críticos no interior com y>0. Conclusão: quaisquer extremos devem ocorrer na fronteira de R.

Passo 4

Descrever a fronteira de R. A fronteira é a união de três partes:
  1. segmento vertical: \{(0,y)\mid 0\le y\le\sqrt{3}\} (a reta x=0),
  2. segmento horizontal: \{(x,0)\mid 0\le x\le\sqrt{3}\} (a reta y=0),
  3. arco do círculo: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=3,\; x\ge0,\; y\ge0\} (um quarto de circunferência).
    Vou analisar cada uma separadamente.

Passo 5

Analisar a fronteira 1: x=0, com 0\le y\le\sqrt{3}.
Substituindo em f: f(0,y)=0\quad\text{para todo }0\le y\le\sqrt{3}.
Portanto todos esses pontos dão valor 0. Eles são candidatos a mínimo (ou máximo se não existir valor maior/menor), mas ainda temos que comparar com outras partes da fronteira.

Passo 6

Analisar a fronteira 2: y=0, com 0\le x\le\sqrt{3}.
Substituindo em f: f(x,0)=0\quad\text{para todo }0\le x\le\sqrt{3}.
Novamente, esses pontos também dão valor 0.

Passo 7

Analisar a fronteira 3: arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 com x\ge0,\;y\ge0.
Método prático (parametrização do arco): usar \,x=\sqrt{3}\cos t,\; y=\sqrt{3}\sin t\, com t\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Isso parametriza o quarto de círculo do primeiro quadrante. Substituindo em f:
f(t)=x y^{2}=(\sqrt{3}\cos t)\big(\sqrt{3}\sin t\big)^{2}= \sqrt{3}\cos t \cdot 3\sin^{2}t = 3\sqrt{3}\,\cos t\,\sin^{2}t.
Agora precisamos maximizar f(t) para t\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 8

Maximização de f(t). Para simplificar a derivação, estudamos g(t)=\cos t\,\sin^{2}t; f(t)=3\sqrt{3}\,g(t), então máximos de g e f ocorrem nos mesmos t.
Calcule g'(t) pelo produto e pela regra da cadeia:
g(t)=\cos t\cdot \sin^{2}t.
Derivando:
g'(t) = (\cos t)' \sin^{2}t + \cos t \cdot (\sin^{2}t)' = -\sin t\cdot\sin^{2}t + \cos t \cdot 2\sin t\cos t.
Fatorando \sin t:
g'(t)=\sin t\big(2\cos^{2}t-\sin^{2}t\big).
Zerar g' dá candidatos:
  1. \sin t=0 \Rightarrow t=0 (ou t=\pi, fora do intervalo); em t=0, f=0.
  2. 2\cos^{2}t-\sin^{2}t=0. Usando \sin^{2}t=1-\cos^{2}t, obtemos
2\cos^{2}t-(1-\cos^{2}t)=0 \Rightarrow 3\cos^{2}t-1=0 \Rightarrow \cos^{2}t=\frac{1}{3}.
Como t\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \cos t=\frac{1}{\sqrt{3}} (positiva) e então
\sin^{2}t=1-\cos^{2}t=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\qquad \sin t=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Outra forma foi encontrar \tan^{2}t=2\Rightarrow \tan t=\sqrt{2}, mesma solução no primeiro quadrante.

Passo 9

Avaliar f nos pontos críticos do arco e nos extremos do intervalo t=0 e t=\tfrac{\pi}{2}.
  • Em t=0: \cos0=1,\;\sin0=0\Rightarrow f(0)=0.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2}: \cos\tfrac{\pi}{2}=0,\;\sin\tfrac{\pi}{2}=1\Rightarrow f(\tfrac{\pi}{2})=0.
  • No crítico interior do arco com \cos t=\tfrac{1}{\sqrt{3}},\;\sin t=\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}:
    calcule f:
f = 3\sqrt{3}\cos t\sin^{2}t = 3\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{3} = 3\cdot\frac{2}{3}=2.
O ponto correspondente (usar a parametrização) é
x=\sqrt{3}\cos t=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=1,\qquad y=\sqrt{3}\sin t=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.
Logo em (1,\sqrt{2}) temos f(1,\sqrt{2})=2. Como f\ge0 em R (produto de não-negativos), esse é candidato a máximo global e os zeros vistos nas arestas são candidatos a mínimo global.

Passo 10

Comparando todos os valores candidatos:
  • Valores 0 obtidos ao longo das arestas x=0 e y=0 e nos extremos do arco ( t=0,\tfrac{\pi}{2}).
  • Valor 2 obtido em (1,\sqrt{2}) sobre o arco do círculo.
    Como não há valores negativos (já que x\ge0,y\ge0 implicam f\ge0), o mínimo global é 0 e o máximo global é 2. Conclusão final abaixo.

Resposta

Máximo: \,2\,, atingido em (1,\sqrt{2}).
Mínimo: \,0\,, atingido em todos os pontos da fronteira com x=0 ou y=0 (isto é, \{(0,y)\mid 0\le y\le\sqrt{3}\}\cup\{(x,0)\mid 0\le x\le\sqrt{3}\}).

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