Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
Dada uma sequência decrescente
de intervalos limitados e fechados
, existe pelo menos um número real
tal que
para todo
. Obs: este resultado é conhecido como Teorema dos intervalos encaixados.
Dada uma sequência decrescente
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência decrescente de intervalos limitados e fechados
Queremos mostrar que existe pelo menos um real
que pertence a todos os
.
Conteúdo: usamos a propriedade de completude dos reais (existência de supremo e ínfimo) e as relações de monotonia entre e
.
Conteúdo: usamos a propriedade de completude dos reais (existência de supremo e ínfimo) e as relações de monotonia entre
Passo 2
Como
temos
Logo
é não decrescente e está limitada por
, e
é não crescente e está limitada por
.
Passo 3
Pela completude de
existe
Além disso, para todo
temos
, então
para todo
e, logo,
Passo 4
Escolhendo qualquer
tal que
, temos para todo
:
-
, pois é supremo de . -
, pois é ínfimo de .
Portantopara todo .
Resposta
Basta tomar
que satisfaz
para todo
.