Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
Dada uma sequência decrescente I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots \supset I_{n} \ldots de intervalos limitados e fechados I_{n}=\left[a_{n}, b_{n}\right], existe pelo menos um número real c tal que c \in I_{n} para todo n \in \mathbb{N}. Obs: este resultado é conhecido como Teorema dos intervalos encaixados.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência decrescente de intervalos limitados e fechados
I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots\supset I_{n}\supset\cdots, \quad I_{n}=[a_{n},b_{n}].
Queremos mostrar que existe pelo menos um real c que pertence a todos os I_{n}.
Conteúdo: usamos a propriedade de completude dos reais (existência de supremo e ínfimo) e as relações de monotonia entre (a_{n}) e (b_{n}).

Passo 2

Como I_{n+1}\subset I_{n} temos
a_{n}\le a_{n+1} \quad\text{e}\quad b_{n+1}\le b_{n}.
Logo (a_{n}) é não decrescente e está limitada por b_{1}, e (b_{n}) é não crescente e está limitada por a_{1}.

Passo 3

Pela completude de \mathbb{R} existe
\alpha = \sup\{a_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}, \qquad \beta = \inf\{b_{n}\mid n\in\mathbb{N}\}.
Além disso, para todo n temos a_{n}\le b_{n}, então \alpha\le b_{n} para todo n e, logo,
\alpha \le \inf_{n}b_{n} = \beta.

Passo 4

Escolhendo qualquer c tal que \alpha \le c \le \beta, temos para todo n:
  1. a_{n}\le \alpha\le c, pois \alpha é supremo de \{a_{n}\}.
  2. c\le \beta\le b_{n}, pois \beta é ínfimo de \{b_{n}\}.
    Portanto c\in[a_{n},b_{n}]=I_{n} para todo n.

Resposta

Basta tomar
c = \sup_{n}a_{n},
que satisfaz c\in I_{n} para todo n.

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