Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
\mathbb{R} é um corpo arquimediano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o corpo ordenado \mathbb{R} satisfaz a propriedade arquimediana. Vamos usar a definição de corpo arquimediano e a propriedade do supremo (axioma de completude) de \mathbb{R}.

Passo 2

Definição: um corpo ordenado K é arquimediano se, para quaisquer x,y\in K com x>0, existe um n\in\mathbb{N} tal que
n\,x > y.
Uma forma equivalente é dizer que o conjunto \mathbb{N}\subset\mathbb{R} não é limitado superiormente em \mathbb{R}.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que \mathbb{N} seja limitado superiormente em \mathbb{R}. Então, pelo axioma do supremo, o conjunto \mathbb{N} tem um menor limite superior, digamos
s = \sup \mathbb{N}.
Como s é o supremo, temos \forall n\in\mathbb{N}; n\le s, e também a propriedade de que qualquer número menor que s não pode ser um limite superior. Em particular, s-1 < s, então não pode ser limite superior de \mathbb{N}. Logo existe algum n_0\in\mathbb{N} com
n_0 > s - 1.
Somando 1 a ambos os lados, obtemos
n_0 + 1 > s.
Mas n_0+1\in\mathbb{N}, o que contradiz o fato de s ser um limite superior de \mathbb{N}.

Passo 4

A contradição mostra que nossa hipótese de que \mathbb{N} é limitado acima em \mathbb{R} está errada. Portanto \mathbb{N} não é limitado superiormente em \mathbb{R}, ou seja, para todo y\in\mathbb{R} existe n\in\mathbb{N} tal que n>y. Isso implica exatamente que \mathbb{R} é um corpo arquimediano.

Resposta

Ficou demonstrado que \mathbb{R} satisfaz a propriedade arquimediana, portanto \mathbb{R} é um corpo arquimediano.

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