Escreva uma demostração para os seguintes resultados:
é um corpo arquimediano.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o corpo ordenado
satisfaz a propriedade arquimediana. Vamos usar a definição de corpo arquimediano e a propriedade do supremo (axioma de completude) de
.
Passo 2
Definição: um corpo ordenado
é arquimediano se, para quaisquer
com
, existe um
tal que
Uma forma equivalente é dizer que o conjunto
não é limitado superiormente em
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
seja limitado superiormente em
. Então, pelo axioma do supremo, o conjunto
tem um menor limite superior, digamos
Como
é o supremo, temos
;
, e também a propriedade de que qualquer número menor que
não pode ser um limite superior. Em particular,
, então não pode ser limite superior de
. Logo existe algum
com
Somando 1 a ambos os lados, obtemos
Mas
, o que contradiz o fato de
ser um limite superior de
.
Passo 4
A contradição mostra que nossa hipótese de que
é limitado acima em
está errada. Portanto
não é limitado superiormente em
, ou seja, para todo
existe
tal que
. Isso implica exatamente que
é um corpo arquimediano.
Resposta
Ficou demonstrado que
satisfaz a propriedade arquimediana, portanto
é um corpo arquimediano.