Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi^{\prime}(\nabla \cdot v)
O que é analogia dos fenómenos de transportes?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral de transporte de uma propriedade escalar \psi:
\frac{\partial \psi}{\partial t} + (v\cdot\nabla)\psi = \dot\psi_{G} + \delta\,\nabla^2\psi - \psi'\,(\nabla\cdot v).
Aqui aparecem cinco fenômenos fundamentais: acumulação no volume de controle, convecção pelo campo de velocidade v, geração interna \dot\psi_{G}, difusão com coeficiente \delta e efeitos de compressibilidade via \nabla\cdot v.

Passo 2

Vamos entender cada termo fisicamente:
\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t} = taxa de acumulação local da grandeza \psi.
(v\cdot\nabla)\psi = transporte convectivo de \psi pelo escoamento.
\dot\psi_{G} = fonte ou sumidouro volumétrico (reação química, geração de calor etc.).
\delta\,\nabla^2\psi = transporte difusivo (viscosidade, condutividade térmica ou difusividade de massa).
-\psi'\,(\nabla\cdot v) = correção em escoamentos compressíveis; em escoamento incompressível ( \nabla\cdot v=0) esse termo some.

Passo 3

Agora veja os casos clássicos:
– Transporte de momento: \psi\to u_i (componente da velocidade), \delta\to\nu (viscosidade cinemática), \dot\psi_{G}\to forças de volume (gravidade, por exemplo), e geralmente \nabla\cdot v=0. Obtém-se o termo difusivo \nu\nabla^2 u_i presente no Navier–Stokes.
– Transferência de calor: \psi\to T, \delta\to\alpha (difusividade térmica), \dot\psi_{G}\to\dot q (geração interna de calor) e \nabla\cdot v\approx0. Surge a equação de convecção–difusão de temperatura.
– Difusão de massa: \psi\to c (concentração), \delta\to D (difusividade de massa), \dot\psi_{G}\to reação química, e de novo \nabla\cdot v\approx0. É a equação de convecção–difusão de espécie.

Passo 4

A analogia dos fenômenos de transporte consiste justamente nesta semelhança de forma matemática das equações de conservação de quantidade de movimento, de energia e de massa. Apesar de trocarmos \psi, \delta e \dot\psi_{G} para cada caso, a estrutura é idêntica.
Essa analogia permite:
  • aplicar métodos de solução comuns (analíticos e numéricos) a todos os três processos;
  • usar números adimensionais análogos (Prandtl, Schmidt, Lewis etc.);
  • transferir correlações experimentais de um fenômeno para outro.

Resposta

A analogia dos fenômenos de transporte é a correspondência matemática entre as equações gerais que regem o transporte de momento, calor e massa. Ela mostra que, embora tratem de grandezas diferentes ( \psi), todas compartilham a mesma forma estrutural \bigl[\partial_t\psi + v\cdot\nabla\psi = \dot\psi_G + \delta\,\nabla^2\psi - \psi'(\nabla\cdot v)\bigr] e, por isso, podem ser analisadas de modo unificado, usando leis análogas (Fourier, Fick, Newton) e parâmetros adimensionais semelhantes (Pr, Sc, Le).

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