Com base em seus conhecimentos e na equação seguinte, responda:
\frac{\partial \psi}{\partial t}+(v \cdot \nabla) \psi=\dot{\psi}_{G}+\delta(\nabla \cdot \nabla \psi)-\psi^{\prime}(\nabla \cdot v)
Escreva a equação do movimento para um fluido newtoniano e incompressível.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de conservação generalizada para uma propriedade \psi:
\frac{\partial \psi}{\partial t} + (v\cdot\nabla)\psi = \dot\psi_{G} + \delta\,(\nabla\cdot\nabla\psi) - \psi'(\nabla\cdot v).
Para obter a equação do movimento de um fluido newtoniano incompressível, vamos aplicar essa forma à quantidade momento linear, ou seja, tomar \psi=\mathbf{v}, onde \mathbf{v} é o vetor velocidade.

Passo 2

Identificamos os termos:
– A derivada material da velocidade é
\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D}t} \equiv \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.
– O termo fonte por unidade de massa reúne a aceleração da gravidade \mathbf{g} e o efeito do gradiente de pressão, que entra como -\tfrac{1}{\rho}\nabla p.
– O coeficiente de difusão \delta torna-se a viscosidade cinemática \nu = \mu/\rho.
– Como o fluido é incompressível vale
\nabla\cdot\mathbf{v}=0,
logo o termo -\psi'(\nabla\cdot v) desaparece.

Passo 3

Substituindo essas identidades na forma generalizada e multiplicando por \rho para usar a viscosidade dinâmica \mu, obtemos a forma conservativa do Navier–Stokes:
\rho\,\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D}t} = -\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{v} + \rho\,\mathbf{g}.

Passo 4

Opcionalmente, dividindo toda a equação por \rho, escrevemos em termos da viscosidade cinemática \nu:
\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D}t} = -\frac{1}{\rho}\,\nabla p + \nu\,\nabla^2\mathbf{v} + \mathbf{g}.

Resposta

A equação do movimento para um fluido newtoniano e incompressível é
\rho\!\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu\,\nabla^2\mathbf{v} + \rho\,\mathbf{g}.

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