Calcular a altura d’água em um canal circular, de concreto ( \mathrm{n}=0,013 ), com diâmetro de 1,2 \mathrm{~m}, declividade de 0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, conduzindo 0,75 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a profundidade de escoamento h em um canal circular de diâmetro D=1,2,m, com concreto de rugosidade n=0,013, declividade S=0,002 e vazão Q=0,75, m^{3}/s. O conteúdo é escoamento uniforme em conduto parcialmente cheio, usando a fórmula de Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.

Passo 2

Para relacionar a profundidade h com as propriedades geométricas, vamos usar o raio do tubo r=\tfrac{D}{2}=0,6,m e definir o semiângulo central \theta (em radianos) tal que
h = r\bigl(1 - \cos\theta\bigr).
A área da seção molhada é
A = \frac{r^2}{2}\,\bigl(2\theta - \sin2\theta\bigr),
o perímetro molhado é
P = 2\,r\,\theta,
e o raio hidráulico é
R = \frac{A}{P}.

Passo 3

Substituímos A e R em função de \theta na equação de Manning:
Q(\theta)=\frac{1}{n}\;A(\theta)\;\bigl[R(\theta)\bigr]^{2/3}\;S^{1/2}.
Queremos achar \theta tal que Q(\theta)=0,75.

Passo 4

Fazemos tentativa de valores de h (e daí \theta) para chegar em Q=0,75, m^{3}/s:
Para h=0,50,m: \cos\theta=1-\tfrac{0,50}{0,6}=0,1667\Rightarrow\theta=1,403 rad, A=0,446, m^{2}, P=1,684,m, R=0,265,m, Q\approx0,633, m^{3}/s (menor que 0,75).
Para h=0,60,m (meio tubo): \theta=\tfrac{\pi}{2}=1,571 rad, A=0,565, m^{2}, P=1,885,m, R=0,300,m, Q\approx0,868, m^{3}/s (maior que 0,75).
Para h=0,55,m: \cos\theta=1-\tfrac{0,55}{0,6}=0,0833\Rightarrow\theta=1,487 rad, A=0,505, m^{2}, P=1,784,m, R=0,283,m, Q\approx0,749, m^{3}/s, muito próximo de 0,75.

Passo 5

Como Q\approx0,749 m^{3}/s para h=0,55 m, concluímos que essa é a profundidade de escoamento que satisfaz a vazão dada.

Resposta

A altura d’água é aproximadamente h = 0,55 m.

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