Com base na definição da densidade de energia mecânica para o fluido ideal. Calcule:
a) A derivada em relação ao tempo (d ed t).
b) Suponha agora que o escoamento desse fluido ideal é puramente horizontal. Como a expressão do item (a) pode ser reescrita?
c) Com base na resposta do item (b) mostre que para o caso em que densidade de energia se conserva isso obrigatoriamente faz com que as velocidades e as pressões de entrada e saída sejam iguais.
d) Agora se o fluido não fosse ideal, mas mesmo assim, por algum motivo a densidade de energia se conserva. Como a equação resultante do item (a) pode ser reescrita?

Passo 1

O enunciado define a densidade de energia mecânica de um fluido ideal em cada ponto como
e = p ;+;tfrac12,rho, v^2;+;rho,g,z
onde p é a pressão, rho a densidade, v a velocidade e z a cota. O que precisamos é o derivativo material
d ed t =ddtl(p + tfrac12,rho,v^2 + rho,g,zr)
usando o teorema da derivada convectiva e a equação de movimento de Euler para fluido ideal:
rho,d vdt=-nabla p+rho, g

Passo 2

Aplicamos a derivada total em cada termo, assumindo fluido incompressível ( rho constante):
d ed t =underbraced pd t(1) +underbracerho, vcdotd vdt(2) +underbracerho,g,d zdt(3)
1. d pd t=partial ppartial t+ v!cdotnabla p 2. pela equação de Euler,
rho, vcdotd vdt = -, vcdotnabla p ;+;rho, vcdot g 3. como dz/dt=vz,
rho,g,dz/dt=rho,g,vz
Logo
d ed t =l[partial ppartial t+ vcdotnabla pr] - vcdotnabla p +rho, vcdot g +rho,g,vz
Como g=-g, k, tem-se vcdot g=-g,vz e cancela com rho,g,vz. Assim
d ed t =partial ppartial t

Passo 3

Para escoamento puramente horizontal vz=0 e g,z é constante (entra em e mas sua derivada anula). A expressão do item (a) não muda:
d ed t=partial ppartial t
Podemos, porém, escrever a conservação de energia em forma unidimensional conservativa. Definimos
;e1=tfrac12,rho,u^2 + p;
e obtemos a lei de conservação em 1D
partial e1partial t +partialpartial xl[u,(e1 + p)r] =0

Passo 4

Se a densidade de energia se conserva no regime estacionário ( partial/ partialt =0), então
ddxl[u,(e1 + p)r]=0 Longrightarrow u,l(p + tfrac12,rho,u^2r)=conste
Entre entrada (índice 1) e saída (índice 2) do elemento:
u1l(p1+tfrac12rho,u1^2r) = u2l(p2+tfrac12rho,u2^2r)
Para fluido incompressível em seção constante, a massa vaza uniformemente, logo u1=u2. Da igualdade acima segue então p1=p2.

Passo 5

Se o fluido não for ideal mas ainda se conserva a densidade de energia, a equação de movimento vira Navier–Stokes:
rho,d vdt = -nabla p + nablacdottau + rho, g,
onde tau é o tensor de tensões viscosas. Ao refazer o cálculo de d e/dt acima, em vez de cancelar só o termo de gravidade, sobra um termo de viscosidade:
d ed t =partial ppartial t ;+; vcdotl(nablacdottaur)
Esse é o item (a) reescrito para fluido não ideal, incluindo o efeito dissipativo de tau

Resposta

a) d ed t=partial ppartial t
b) partialpartial tl(tfrac12rho,u^2 + pr) +partialpartial xl[ul(tfrac12rho,u^2 + p + pr)r]=0
(custei só um “ + p” a mais no fluxo de pressão)
c) Em regime estacionário ( partialt=0) e seção constante, u1(u1^2/2,rho+p1)=u2(u2^2/2,rho+p2).
com u1=u2 segue p1=p2, logo u1=u2 e p1=p2.
d) d ed t =partial ppartial t ;+; v!cdot!(nabla!cdot!tau),
onde tau é o tensor viscoso do fluido não ideal.

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