Calcule o polinômio de Taylor de f de grau n no ponto x0 indicado:
f(x)=cos x, x0=-1

Passo 1

O enunciado quer o polinômio de Taylor de grau n de f(x)=cos x em torno de x0=-1. O conteúdo é série de Taylor; vamos usar a definição que envolve derivadas de f em x0.

Passo 2

A definição do polinômio de Taylor de grau n de f em torno de x0 é dada por
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(x0)k!,(x-x0)^k
No nosso caso x0=-1, então aparece (x+1)^k.

Passo 3

Precisamos das derivadas de cos x. Observe o ciclo de período 4:
f^(0)(x)=cos x, f^(1)(x)=-sin x, f^(2)(x)=-cos x, f^(3)(x)=sin x, f^(4)(x)=cos x,
e assim por diante. Em geral
f^(k)(x)=cosl(x+tfrackpi2r)

Passo 4

Agora avaliamos em x0=-1:
f^(k)(-1)=cosl(-1+tfrackpi2r)
Em particular, pelo ciclo de 4 termos podemos usar que
etc.

Passo 5

Substituindo tudo na definição, obtemos o polinômio de Taylor de grau n em torno de x0=-1:
Tn(x)=sumk=0^ncosl(-1+tfrackpi2r)k!,(x+1)^k
Esse é o resultado geral de grau n.

Resposta

Tn(x)=sumk=0^ncosl(-1+tfrackpi2r)k!,(x+1)^k

Exercícios relacionados