4. SISTEMAS LINEARES

  1. Resolva:
\{x+y=52 x-y=1
  1. Resolva:
\{x+y+z=62 x-y+z=3 x+2 y-z=2
  1. Classifique o sistema em SPD, SPI ou SI:
\{x+y=22 x+2 y=4
  1. Resolva usando escalonamento:
\{x+2 y-z=12 x-y+3 z=73 x+y+2 z=10
  1. Determine os valores de k para os quais o sistema possui infinitas soluções:
\{x+y=22 x+2 y=k

Passo 1

Vou listar claramente cada sistema que o enunciado dá (copiei os números e símbolos tal como aparecem) e o que é pedido em cada item.
  • Item 1: Resolver o sistema
\begin{cases} x+y=5\\[4pt] 2x-y=1 \end{cases}
O pedido é encontrar os valores de [(x,y)).
  • Item 2: Resolver o sistema
\begin{cases} x+y+z=6\\[4pt] 2x-y+z=3\\[4pt] x+2y-z=2 \end{cases}
O pedido é encontrar os valores de ((x,y,z)].
  • Item 3: Classificar o sistema
\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=4 \end{cases}
O pedido é dizer se o sistema é [SPD) (sistema possível e determinado), \text{SPI} (possível e indeterminado, infinitas soluções) ou \text{SI} (impossível, sem solução).
  • Item 4: Resolver usando escalonamento (eliminação)
\begin{cases} x+2y-z=12\\[4pt] x-y+3z=7\\[4pt] 3x+y+2z=10 \end{cases}
O pedido é resolver o sistema por escalonamento (eliminação de incógnitas).
  • Item 5: Determinar os valores de k\] para os quais o sistema possui infinitas soluções: \[\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=k \end{cases}\] O pedido é achar os valores de \(k que fazem o sistema ter infinitas soluções.]

Passo 2

Resolvendo o Item 1 passo a passo (método de eliminação simples). Primeiro escrevo o sistema:
\begin{cases} x+y=5\\[4pt] 2x-y=1 \end{cases}
Ideia do método: somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável. Aqui, se somarmos as duas equações, o termo em y some porque temos +y e -y.
Somando as duas equações:
(x+y)+(2x-y) = 5+1.
No lado esquerdo y cancela e sobram x+2x=3x. No lado direito 5+1=6. Então
3x=6.
Dividindo por 3 obtemos
x=2.
Agora usamos esse x em qualquer uma das equações originais para achar y. Uso a primeira:
x+y=5 \quad\Rightarrow\quad 2+y=5 \quad\Rightarrow\quad y=3.
Portanto a solução do Item 1 é (x,y)=(2,3).]

Passo 3

Resolvendo o Item 2 (sistema 3\times3\)) por eliminação (escalonamento). Escrevo as 3 equações: \[\begin{cases} x+y+z=6 \quad(1)\\[4pt] 2x-y+z=3 \quad(2)\\[4pt] x+2y-z=2 \quad(3) \end{cases}
Objetivo do escalonamento: eliminar uma incógnita (por exemplo x\]) das equações \[(2) e (3) usando a (1), ficando com um sistema 2\times2 em y,z.
Passo de eliminação 1: eliminar x de (2). Faço (2)-2\cdot(1):
(2x-y+z)-2(x+y+z) = 3-2\cdot6.
No lado esquerdo: 2x-2x=0, -y-2y=-3y, z-2z=-z. No direito: 3-12=-9. Logo obtemos
-3y - z = -9.
Multiplicando por -1 (para ter coeficientes mais agradáveis):
3y + z = 9. \quad(4)
Passo de eliminação 2: eliminar x de (3). Faço (3)-(1):
(x+2y-z)-(x+y+z) = 2-6.
No lado esquerdo: x-x=0, 2y-y=y, -z-z=-2z. No direito: 2-6=-4. Logo
y-2z = -4. \quad(5)
Agora temos o sistema 2\times2:
\begin{cases} 3y+z=9\\[4pt] y-2z=-4 \end{cases}
Resolvo por substituição: da equação (5)\] isolamos \(y:
y=-4+2z.
Substituo em (4):
3(-4+2z)+z = 9.
Calculo passo a passo: 3(-4)=-12, 3\cdot2z=6z. Então
-12 + 6z + z = 9 \quad\Rightarrow\quad 7z = 21 \quad\Rightarrow\quad z=3.
Com z=3, volto em y=-4+2z:
y = -4 + 2\cdot3 = -4 + 6 = 2.
Agora determino x usando a equação (1):
x + y + z = 6 \quad\Rightarrow\quad x + 2 + 3 = 6 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto a solução do Item 2 é (x,y,z)=(1,2,3).]

Passo 4

Resolvendo o Item 3 (classificação). O sistema é
\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=4 \end{cases}
Observação: a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, porque
2(x+y)=2\cdot2 \quad\Rightarrow\quad 2x+2y=4.
Isto significa que as duas equações representam a mesma reta no plano: não são duas retas distintas nem paralelas diferentes, mas a mesma reta repetida. Consequência lógica: qualquer par (x,y) que satisfaça a primeira equação também satisfaz a segunda; portanto existem infinitas soluções (todas as combinações de x e y com x+y=2).
Classificação: o sistema é \text{SPI} (possível e indeterminado, infinitas soluções).]

Passo 5

Resolvendo o Item 4 por escalonamento (eliminação). Escrevo o sistema:
\begin{cases} x+2y-z=12 \quad(1)\\[4pt] x-y+3z=7 \quad(2)\\[4pt] 3x+y+2z=10 \quad(3) \end{cases}
Meta: eliminar [x) das equações (2) e (3) usando (1).
Faço (2)-(1) para eliminar x:
(x-y+3z)-(x+2y-z) = 7-12.
No lado esquerdo: x-x=0, -y-2y=-3y, 3z-(-z)=4z. No direito: 7-12=-5. Obtenho
-3y + 4z = -5. \quad(4)
Faço (3)-3\cdot(1) para eliminar x:
(3x+y+2z)-3(x+2y-z) = 10 - 3\cdot12.
No lado esquerdo: 3x-3x=0, y-6y=-5y, 2z-(-3z)=5z. No direito: 10-36=-26. Obtenho
-5y + 5z = -26. \quad(5)
Agora tenho o sistema 2\times2 em y,z:
\begin{cases} -3y+4z=-5\\[4pt] -5y+5z=-26 \end{cases}
Posso simplificar ou resolver direto. Vou eliminar y\]: multiplico \[(4) por 5 e (5) por 3 para obter coeficientes opostos em y:
\begin{cases} -15y + 20z = -25\\[4pt] -15y + 15z = -78 \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira (ou fazendo soma com sinal adequado) para eliminar y\]: \[(-15y+20z) - (-15y+15z) = -25 - (-78).\] No lado esquerdo \(-15y +15y = 0 e 20z-15z=5z. No direito -25+78=53. Logo
5z = 53 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{53}{5}.
Com z=\dfrac{53}{5}, volto em (4) para achar y:
-3y + 4\cdot\frac{53}{5} = -5.
Calculo 4\cdot\dfrac{53}{5}=\dfrac{212}{5}. Passo a passos:
-3y = -5 - \frac{212}{5} = -\frac{25}{5} - \frac{212}{5} = -\frac{237}{5}.
Logo
y = \frac{237}{5}\cdot\frac{1}{3} = \frac{237}{15} = \frac{79}{5}.
Finalmente uso (1) para achar x:
x + 2y - z = 12.
Substituo y=\dfrac{79}{5} e z=\dfrac{53}{5}:
x + 2\cdot\frac{79}{5} - \frac{53}{5} = 12.
Calculo 2\cdot\dfrac{79}{5}=\dfrac{158}{5}. Então
x + \frac{158}{5} - \frac{53}{5} = 12 \quad\Rightarrow\quad x + \frac{105}{5} = 12.
Como \dfrac{105}{5}=21, temos x+21=12, portanto
x=-9.
Verificação rápida (substituir nas outras equações) confirma que os valores estão corretos. Assim a solução do Item 4 é
(x,y,z)=\left(-9,\frac{79}{5},\frac{53}{5}\right).]

Passo 6

Resolvendo o Item 5 (valores de k\) para infinitas soluções). O sistema é \[\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=k \end{cases}
Raciocínio: para infinitas soluções as duas equações devem ser proporcionais (mesma reta). A segunda equação é 2x+2y=k\]. Se dividir por \(2 obtemos
x+y=\frac{k}{2}.
Para que isso represente a mesma equação que x+y=2 precisamos ter \dfrac{k}{2}=2. Assim
\frac{k}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad k=4.
Interpretação adicional (útil na prova): se k=4 então a segunda equação é exatamente 2\cdot primeira e o sistema tem infinitas soluções (SPI). Se k\neq4 então a segunda reta é paralela e distinta da primeira (pois representaria x+y=k/2 com k/2\neq2), o que dá sistema impossível (SI).]

Resposta

(x,y)=(2,3)
(x,y,z)=(1,2,3)
\text{SPI}
(x,y,z)=\left(-9,\dfrac{79}{5},\dfrac{53}{5}\right)
k=4

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