O pedido é dizer se o sistema é [SPD) (sistema possível e determinado), \text{SPI} (possível e indeterminado, infinitas soluções) ou \text{SI} (impossível, sem solução).
O pedido é resolver o sistema por escalonamento (eliminação de incógnitas).
Item 5: Determinar os valores de k\] para os quais o sistema possui infinitas soluções:
\[\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=k \end{cases}\]
O pedido é achar os valores de \(k que fazem o sistema ter infinitas soluções.]
Passo 2
Resolvendo o Item 1 passo a passo (método de eliminação simples). Primeiro escrevo o sistema:
\begin{cases} x+y=5\\[4pt] 2x-y=1 \end{cases}
Ideia do método: somar ou subtrair as equações para eliminar uma variável. Aqui, se somarmos as duas equações, o termo em y some porque temos +y e -y.
Somando as duas equações:
(x+y)+(2x-y) = 5+1.
No lado esquerdo y cancela e sobram x+2x=3x. No lado direito 5+1=6. Então
3x=6.
Dividindo por 3 obtemos
x=2.
Agora usamos esse x em qualquer uma das equações originais para achar y. Uso a primeira:
x + y + z = 6 \quad\Rightarrow\quad x + 2 + 3 = 6 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto a solução do Item 2 é (x,y,z)=(1,2,3).]
Passo 4
Resolvendo o Item 3 (classificação). O sistema é
\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=4 \end{cases}
Observação: a segunda equação é exatamente o dobro da primeira, porque
2(x+y)=2\cdot2 \quad\Rightarrow\quad 2x+2y=4.
Isto significa que as duas equações representam a mesma reta no plano: não são duas retas distintas nem paralelas diferentes, mas a mesma reta repetida. Consequência lógica: qualquer par (x,y) que satisfaça a primeira equação também satisfaz a segunda; portanto existem infinitas soluções (todas as combinações de x e y com x+y=2).
Classificação: o sistema é \text{SPI} (possível e indeterminado, infinitas soluções).]
Passo 5
Resolvendo o Item 4 por escalonamento (eliminação). Escrevo o sistema:
Subtraindo a segunda da primeira (ou fazendo soma com sinal adequado) para eliminar y\]:
\[(-15y+20z) - (-15y+15z) = -25 - (-78).\]
No lado esquerdo \(-15y +15y = 0 e 20z-15z=5z. No direito -25+78=53. Logo
5z = 53 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{53}{5}.
Com z=\dfrac{53}{5}, volto em (4) para achar y:
-3y + 4\cdot\frac{53}{5} = -5.
Calculo 4\cdot\dfrac{53}{5}=\dfrac{212}{5}. Passo a passos:
Resolvendo o Item 5 (valores de k\) para infinitas soluções). O sistema é
\[\begin{cases} x+y=2\\[4pt] 2x+2y=k \end{cases}
Raciocínio: para infinitas soluções as duas equações devem ser proporcionais (mesma reta). A segunda equação é 2x+2y=k\]. Se dividir por \(2 obtemos
x+y=\frac{k}{2}.
Para que isso represente a mesma equação que x+y=2 precisamos ter \dfrac{k}{2}=2. Assim
\frac{k}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad k=4.
Interpretação adicional (útil na prova): se k=4 então a segunda equação é exatamente 2\cdot primeira e o sistema tem infinitas soluções (SPI). Se k\neq4 então a segunda reta é paralela e distinta da primeira (pois representaria x+y=k/2 com k/2\neq2), o que dá sistema impossível (SI).]