A base, com 5 mm de espessura, de uma panela com diâmetro de 200 mm pode ser feita com alumínio (
) ou cobre (
). Quando usada para ferver água, a superfície da base exposta à água encontra-se a
. Se calor é transferido do fogão para a panela a uma taxa de 600 W , qual é a temperatura da superfície voltada para o fogão para cada um dos dois materiais?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura da superfície voltada para o fogão em cada material:
- Espessura da base:
. - Diâmetro da base:
(logo o raio ). - Área da base exposta à água (peguei este valor da geometria da tampa circular):
. - Temperatura da superfície em contato com a água:
. - Taxa de transferência de calor do fogão para a panela:
. - Condutividades térmicas (fornecidas):
- Alumínio:
. - Cobre:
.
- Alumínio:
O enunciado pede: para cada material (alumínio e cobre), determinar a temperatura da superfície voltada para o fogão (ou seja, a face inferior da base).
Passo 2
Entender a física e a equação que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando o calor atravessa uma placa plana de espessura
em regime estacionário e unidimensional, a lei de Fourier para condução diz que a taxa de calor é proporcional ao gradiente de temperatura:
Para uma placa homogênea com duas faces a temperaturas constantes
e
e variação linear de temperatura, a forma prática é
Aqui:
-
é a taxa de calor (em ), -
é a condutividade térmica (em ), -
é a área transversal ao fluxo térmico (em ), -
é a espessura no sentido do fluxo (em ), -
e são as temperaturas nas faces (em ou K).
Vamos usar essa relação isolando
(a face em contato com o fogão), sabendo
.
Passo 3
Expressar
a partir da equação de condução.
A partir de
isolamos
:
Note que
é a diferença de temperatura através da espessura da placa: quanto maior
ou maior
, menor a queda de temperatura.
Passo 4
Calcular a área da base (passo numérico detalhado).
A base é circular com raio
. Então
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Calcular para o alumínio (detalhar as contas para poder fazer sem calculadora numa prova).
Usamos:
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
Agora calcular numericamente
:
Assim a diferença de temperatura através da base é
Portanto a temperatura da face voltada para o fogão é
Passo 6
Calcular para o cobre (mesma rotina).
Usamos:
Calcular o denominador:
Diferença de temperatura:
Temperatura da face voltada para o fogão:
Passo 7
Interpretação curta e incentivo (rápido, pra animar).
As diferenças de temperatura são muito pequenas porque a base é relativamente fina e as condutividades são altas; cobre conduz melhor que alumínio, portanto a queda de temperatura em cobre é ainda menor. Tá indo bem — essas contas são rotina em prova: área, aplicar Fourier, isolar e calcular.
Resposta
Alumínio:
Cobre:
Cobre: