A base, com 5 mm de espessura, de uma panela com diâmetro de 200 mm pode ser feita com alumínio ( \mathrm{k}=240 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ) ou cobre ( \mathrm{k}=390 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ). Quando usada para ferver água, a superfície da base exposta à água encontra-se a 110^{\circ} \mathrm{C}. Se calor é transferido do fogão para a panela a uma taxa de 600 W , qual é a temperatura da superfície voltada para o fogão para cada um dos dois materiais?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura da superfície voltada para o fogão em cada material:
  • Espessura da base: L=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da base: d=0,200\\ \mathrm{m} (logo o raio r=0,100\\ \mathrm{m}).
  • Área da base exposta à água (peguei este valor da geometria da tampa circular): A=\pi r^{2}.
  • Temperatura da superfície em contato com a água: T_{\mathrm{água}}=110^\circ\mathrm{C}á.
  • Taxa de transferência de calor do fogão para a panela: \dot{Q}=600\\ \mathrm{W}.
  • Condutividades térmicas (fornecidas):
    • Alumínio: k_{\mathrm{Al}}=240\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
    • Cobre: k_{\mathrm{Cu}}=390\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
O enunciado pede: para cada material (alumínio e cobre), determinar a temperatura da superfície voltada para o fogão (ou seja, a face inferior da base).

Passo 2

Entender a física e a equação que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando o calor atravessa uma placa plana de espessura L em regime estacionário e unidimensional, a lei de Fourier para condução diz que a taxa de calor é proporcional ao gradiente de temperatura:
\dot{Q} = -k A \frac{dT}{dx}.
Para uma placa homogênea com duas faces a temperaturas constantes T_{\mathrm{fria}} e T_{\mathrm{quente}} e variação linear de temperatura, a forma prática é
\dot{Q} = k A \frac{T_{\mathrm{quente}}-T_{\mathrm{fria}}}{L}.
Aqui:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (em \mathrm{W}),
  • k é a condutividade térmica (em \mathrm{W}/\mathrm{mK}),
  • A é a área transversal ao fluxo térmico (em \mathrm{m}^{2}),
  • L é a espessura no sentido do fluxo (em \mathrm{m}),
  • T_{\mathrm{quente}} e T_{\mathrm{fria}} são as temperaturas nas faces (em ^\circ\mathrm{C} ou K).
Vamos usar essa relação isolando T_{\mathrm{quente}} (a face em contato com o fogão), sabendo T_{\mathrm{fria}}=T_{\mathrm{água}}=110^\circ\mathrm{C}á.

Passo 3

Expressar T_{\mathrm{quente}} a partir da equação de condução.
A partir de
\dot{Q} = k A \frac{T_{\mathrm{quente}}-T_{\mathrm{água}}}{L},á
isolamos T_{\mathrm{quente}}:
T_{\mathrm{quente}} = T_{\mathrm{água}} + \frac{\dot{Q}\,L}{k\,A}.á
Note que \dfrac{\dot{Q}L}{kA} é a diferença de temperatura através da espessura da placa: quanto maior k ou maior A, menor a queda de temperatura.

Passo 4

Calcular a área da base (passo numérico detalhado).
A base é circular com raio r=0,100\\ \mathrm{m}. Então
A=\pi r^{2}=\pi (0,100)^{2}=\pi \cdot 0,01=0,01\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Valor numérico aproximado:
A \approx 0,01\pi \approx 0,0314159\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Calcular para o alumínio (detalhar as contas para poder fazer sem calculadora numa prova).
Usamos:
T_{\mathrm{quente}} = T_{\mathrm{água}} + \frac{\dot{Q}\,L}{k_{\mathrm{Al}}\,A}.á
Substituindo os valores (todos em unidades SI):
\dot{Q}L = 600 \times 0,005 = 3{,}0\\ \mathrm{W\cdot m}.
k_{\mathrm{Al}}\,A = 240 \times 0,01\pi = 2{,}4\pi \\ \mathrm{W/K}.
Agora calcular numericamente 2{,}4\pi:
2{,}4\pi \approx 2{,}4\times 3{,}1416 \approx 7{,}5398\\ \mathrm{W/K}.
Assim a diferença de temperatura através da base é
\Delta T_{\mathrm{Al}}=\frac{3{,}0}{7{,}5398}\approx 0{,}3979\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura da face voltada para o fogão é
T_{\mathrm{quente,Al}}=110^\circ\mathrm{C}+0{,}3979^\circ\mathrm{C}\approx 110{,}40^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular para o cobre (mesma rotina).
Usamos:
T_{\mathrm{quente}} = T_{\mathrm{água}} + \frac{\dot{Q}\,L}{k_{\mathrm{Cu}}\,A}.á
Calcular o denominador:
k_{\mathrm{Cu}}\,A = 390 \times 0,01\pi = 3{,}9\pi\\ \mathrm{W/K}.
3{,}9\pi \approx 3{,}9\times 3{,}1416 \approx 12{,}247\\ \mathrm{W/K}.
Diferença de temperatura:
\Delta T_{\mathrm{Cu}}=\frac{3{,}0}{12{,}247}\approx 0{,}2450\\ \mathrm{K}.
Temperatura da face voltada para o fogão:
T_{\mathrm{quente,Cu}}=110^\circ\mathrm{C}+0{,}2450^\circ\mathrm{C}\approx 110{,}25^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo (rápido, pra animar).
As diferenças de temperatura são muito pequenas porque a base é relativamente fina e as condutividades são altas; cobre conduz melhor que alumínio, portanto a queda de temperatura em cobre é ainda menor. Tá indo bem — essas contas são rotina em prova: área, aplicar Fourier, isolar e calcular.

Resposta

Alumínio: 110{,}40^\circ\mathrm{C}
Cobre: 110{,}25^\circ\mathrm{C}

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