Uma solução
de um ácido fraco monoprótico tem
a
. Qual é o
desse ácido?
Passo 1
O enunciado dá uma solução de ácido fraco monoprótico com concentração inicial
e informa que a solução tem
a
. Pede-se o valor de
do ácido. Além disso foi fornecida a equação cúbica
que é uma forma algébrica geral que relaciona
,
,
e
. Informações relevantes listadas:
-
. -
(logo pode ser obtido por ). - Temperatura
(logo a essa temperatura).
A resolução começará a partir dessas informações.
Passo 2
Transformar
em concentração de íons hidrogênio
e explicar por que isso é a primeira coisa a fazer.
A definição de pH é
Isto significa que
Aplicando a
obtemos
Calculemos esse valor. Note que
e
. Portanto
(Isto já é a concentração real de íons
na solução, informação central para achar
.)
Passo 3
Explicar a química de equilíbrio do ácido monoprótico e as relações de balanço de massa e carga que precisamos usar.
Para um ácido monoprótico
, a constante de dissociação é definida por
Precisamos conhecer
e
na solução no equilíbrio. Existem duas relações úteis:
- Balanço de carga (eletroneutralidade): na solução neutra/ácida em presença apenas desse ácido e da água,
Isto porque as cargas positivas totais devem igualar as negativas; os únicos cátions importantes são
e as ânions importantes são
e
.
- Balanço de massa para o ácido: a soma do ácido não dissociado com sua base conjugada é a concentração inicial:
A partir dessas duas equações podemos expressar
e
em função de
e de
(porque
).
Passo 4
Derivar a expressão algébrica que ligará
a
e
, e mostrar que essa expressão é equivalente à forma usada na prática.
Da eletroneutralidade:
Do balanço de massa:
Substituindo na definição de
:
Como
, podemos escrever
Se você multiplicar numerador e denominador por
e reorganizar, obtém-se a equação cúbica que o enunciado mostrou. Portanto a expressão acima é consistente com a equação cúbica dada, mas a forma fracionária é mais direta para cálculo numérico.
Passo 5
Explicar quando é aceitável desprezar a contribuição da água e por que aqui podemos (ou não) fazê-lo; depois calcular numericamente, preferindo a forma completa (com
) por rigor.
A contribuição da água (via
) é desprezível quando
é muito maior que
, i.e. quando
é desprezível frente a
e
. No nosso caso
. Calculemos
:
Esse valor é muitíssimo menor que
e que
, então sua influência é desprezível nos dígitos relevantes. Mesmo assim, para sermos rigorosos usamos a expressão que inclui
, e veremos que o efeito é numericamente nulo nas primeiras casas decimais.
Passo 6
Substituir os números na fórmula exata e calcular
passo a passo, mostrando contas intermediárias.
Usando
substituímos os valores:
Calculemos o numerador:
Observe que a subtração com
não altera os dígitos mostrados; portanto
Uma forma elegante de calcular
é notar que
, então
E
, logo
Agora o denominador:
Finalmente,
Fazendo a divisão obtemos (mostrando a conta aproximada)
Em notação científica e com vírgula decimal (padrão brasileiro), isso é
Passo 7
Interpretação rápida e verificação por aproximação: se desprezarmos
desde o início, usaríamos a fórmula aproximada
que dá exatamente o mesmo valor numérico até as casas mostradas, porque
é muito pequeno. Isso confirma que nossa conta está consistente.