Uma base de
é um conjunto que gera
e que é linearmente independente. Baseando-se nessa definição, mostre que os seguintes conjuntos são bases de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é uma base de
. Pela definição, devemos verificar dois pontos: (i) que gera
(span) e (ii) que é linearmente independente.
Passo 2
Geracão de
. Seja um vetor arbitrário
. Podemos escrevê-lo como combinação linear de
e
:
Como isso vale para todo
, o conjunto gera
.
Passo 3
Independência linear. Suponha que existam escalares
tais que
Isso significa
logo
e
. Como a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
satisfaz as duas condições de geração e independência linear, logo é uma base de
.