Uma base de \mathbb{R}^{2} é um conjunto que gera \mathbb{R}^{2} e que é linearmente independente. Baseando-se nessa definição, mostre que os seguintes conjuntos são bases de \mathbb{R}^{2}.
\{(1,0),(0,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \{(1,0),(0,1)\} é uma base de \mathbb{R}^2. Pela definição, devemos verificar dois pontos: (i) que gera \mathbb{R}^2 (span) e (ii) que é linearmente independente.

Passo 2

Geracão de \mathbb{R}^2. Seja um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2. Podemos escrevê-lo como combinação linear de (1,0) e (0,1):
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1).
Como isso vale para todo (x,y), o conjunto gera \mathbb{R}^2.

Passo 3

Independência linear. Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a\,(1,0) + b\,(0,1) = (0,0).
Isso significa
(a,b) = (0,0),
logo a=0 e b=0. Como a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto \{(1,0),(0,1)\} satisfaz as duas condições de geração e independência linear, logo é uma base de \mathbb{R}^2.

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