Sejam V=C([0,1], \mathbb{R}) o espaço de todas as funções contínuas f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} e W=\{f \in C([0,1], \mathbb{R}): f(0)=0\}. Verifique se W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = C([0,1],\mathbb{R}) de todas as funções contínuas em [0,1] e o subconjunto
W = \{\,f\in C([0,1],\mathbb{R}) : f(0)=0\}.
Para verificar que W é subespaço de V, precisamos checar:
  1. 0_V\in W.
  2. Se f,g\in W então f+g\in W.
  3. Se f\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha f\in W.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de V, dado por 0_V(x)=0 para todo x, pertence a W. De fato,
0_V(0)=0,
logo 0_V\in W.

Passo 3

Sejam f,g\in W. Isso significa f(0)=0 e g(0)=0. Então, para a soma,
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0,
portanto f+g\in W.

Passo 4

Seja \alpha\in\mathbb{R} e f\in W com f(0)=0. Então, para o produto escalar,
(\alpha f)(0)=\alpha\cdot f(0)=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha f\in W.

Resposta

W é subespaço de V.

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