Uma base de
é um conjunto que gera
e que é linearmente independente. Baseando-se nessa definição, mostre que os seguintes conjuntos são bases de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
é base de
. Isso significa verificar dois requisitos:
- Independência linear das duas vetores.
- Geração de todo
por combinações lineares.
Passo 2
Verificamos a independência linear. Suponha que existam
tais que
Isso equivale ao sistema
Da igualdade de coordenadas obtemos
e
.
Como , segue
e, portanto,
.
Logo, a única combinação que dá o vetor nulo é a trivial, e os vetores são linearmente independentes.
Como
Logo, a única combinação que dá o vetor nulo é a trivial, e os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Mostramos que o conjunto gera
. Seja um vetor arbitrário
. Queremos achar
tais que
Isso gera o sistema
isto é
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda obtém-se
Como sempre existe solução
, qualquer
é combinação linear de
e
. Assim, o conjunto gera todo
.
Resposta
O conjunto
é base de
, pois é linearmente independente e gera
.