Uma base de \mathbb{R}^{2} é um conjunto que gera \mathbb{R}^{2} e que é linearmente independente. Baseando-se nessa definição, mostre que os seguintes conjuntos são bases de \mathbb{R}^{2}.
\{(1,1),(0,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto \{(1,1),(0,3)\} é base de \mathbb{R}^2. Isso significa verificar dois requisitos:
  1. Independência linear das duas vetores.
  2. Geração de todo \mathbb{R}^2 por combinações lineares.

Passo 2

Verificamos a independência linear. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\,(1,1)+\beta\,(0,3)=(0,0).
Isso equivale ao sistema
(\alpha,\;\alpha+3\beta)=(0,0).
Da igualdade de coordenadas obtemos
\alpha=0 e \alpha+3\beta=0.
Como \alpha=0, segue 3\beta=0 e, portanto, \beta=0.
Logo, a única combinação que dá o vetor nulo é a trivial, e os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Mostramos que o conjunto gera \mathbb{R}^2. Seja um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2. Queremos achar \alpha,\beta tais que
\alpha\,(1,1)+\beta\,(0,3)=(x,y).
Isso gera o sistema
(\alpha,\;\alpha+3\beta)=(x,y),
isto é
\alpha = x, \quad \alpha + 3\beta = y.
Da primeira equação vem \alpha = x. Substituindo na segunda obtém-se
x + 3\beta = y \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{y - x}{3}.
Como sempre existe solução (\alpha,\beta), qualquer (x,y) é combinação linear de (1,1) e (0,3). Assim, o conjunto gera todo \mathbb{R}^2.

Resposta

O conjunto \{(1,1),(0,3)\} é base de \mathbb{R}^2, pois é linearmente independente e gera \mathbb{R}^2.

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