Mostre que W=\left\{p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} \in \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}): a_{0}-2 a_{1}+3 a_{2}=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})= conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2.

Passo 1

O enunciado define
W = \bigl\{\,p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\in \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) : a_{0}-2a_{1}+3a_{2}=0\bigr\}.
Queremos provar que W é subespaço de \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}). Para isso, usamos o critério de subespaço:
  1. W não é vazio (contém o polinômio zero).
  2. Se p,q\in W, então p+q\in W.
  3. Se p\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda p\in W.

Passo 2

Verificar que o polinômio zero está em W.
O polinômio zero é p_0(t)=0+0\cdot t+0\cdot t^2. Seus coeficientes são a_{0}=0, a_{1}=0, a_{2}=0. Logo
a_{0}-2a_{1}+3a_{2}=0-2\cdot0+3\cdot0=0,
então p_0\in W. Assim, W não é vazio.

Passo 3

Mostrar fechamento sob adição.
Sejam
p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\quad\text{e}\quad q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}
em W. Então
a_{0}-2a_{1}+3a_{2}=0 \quad\text{e}\quad b_{0}-2b_{1}+3b_{2}=0.
Considere p+q. Seus coeficientes somados são (a_{0}+b_{0},\,a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2}). Logo
(a_{0}+b_{0}) - 2(a_{1}+b_{1}) + 3(a_{2}+b_{2}) = (a_{0}-2a_{1}+3a_{2}) + (b_{0}-2b_{1}+3b_{2}) = 0 + 0 = 0.
Portanto p+q\in W.

Passo 4

Mostrar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} em W e \lambda\in\mathbb{R}. Então a_{0}-2a_{1}+3a_{2}=0. Os coeficientes de \lambda p são (\lambda a_{0},\,\lambda a_{1},\,\lambda a_{2}). Logo
\lambda a_{0} - 2(\lambda a_{1}) + 3(\lambda a_{2}) = \lambda\,(a_{0}-2a_{1}+3a_{2}) = \lambda\cdot 0 = 0.
Assim \lambda p\in W.

Resposta

W satisfaz as três condições de subespaço vetorial. Portanto, W é um subespaço de \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).

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