Uma base de \mathbb{R}^{2} é um conjunto que gera \mathbb{R}^{2} e que é linearmente independente. Baseando-se nessa definição, mostre que os seguintes conjuntos são bases de \mathbb{R}^{2}. \{(1,3),(2,5)\}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto \{(1,3),(2,5)\} é uma base de \mathbb{R}^2. Isso envolve dois tópicos de Álgebra Linear:
Geração (ou span) de \mathbb{R}^2: todo vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 deve poder ser escrito como combinação linear de (1,3) e (2,5).
Independência linear: a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial (coeficientes todos zero).
Passo 2
Mostramos que \{(1,3),(2,5)\}\) gera \(\mathbb{R}^2\). Seja um vetor qualquer \((x,y)\). Queremos achar escalares \(a,b\) tais que
\[a\,(1,3)+b\,(2,5)=(x,y).
Escrevendo componente a componente, temos
(a+2b,\;3a+5b)=(x,y),
isto é, o sistema
\begin{cases} a+2b = x,\\\\ 3a+5b = y. \end{cases}
Resolvendo: multiplique a primeira equação por 3\] e subtraia da segunda:
\[3a+6b - (3a+5b) = 3x - y \quad\Longrightarrow\quad b = 3x - y.\]
Em seguida,
\[a = x - 2b = x - 2(3x - y) = 2y - 5x.\]
Como para todo \((x,y) obtemos solução (a,b), o conjunto gera \mathbb{R}^2.
Passo 3
Mostramos que \{(1,3),(2,5)\}\) é linearmente independente. Suponha que exista combinação que dê o vetor nulo:
\[a\,(1,3)+b\,(2,5)=(0,0).
Da primeira equação a=-2b\]. Substituindo na segunda:
\[3(-2b)+5b = -6b+5b = -b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b=0,\]
logo \(a=-2\cdot0=0. Assim, a única solução é a=b=0, provando a independência linear.
Passo 4
Concluímos que \{(1,3),(2,5)\} satisfaz ambas as condições de base em \mathbb{R}^2: gera todo o espaço e é linearmente independente.