Com base em medidas de atenuação e de reflexão conduzidas a 1 MHz , foi determinado que a impedância intrínseca de um certo meio é de 28.1 / 45^{\circ} \Omega e a profundidade de penetração de 5 m . Determine:
a) A condutividade do material.
b) O comprimento de onda no meio.
c) A velocidade de fase.

Passo 1

O enunciado dá uma frequência de f = 1\;\text{MHz}, uma impedância intrínseca \eta = 28{,}1\angle 45^\circ\\ \Omega
e profundidade de penetração \delta = 5\;\text{m}.
Queremos encontrar a condutividade \sigma, o comprimento de onda \lambda e a velocidade de fase v_p no meio.
Os conceitos-chave são:
– Em bom condutor, \eta = (1+j)\sqrt{\tfrac{\omega\mu}{2\sigma}} e \alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}.
– Profundidade de penetração \delta=1/\alpha.
– Comprimento de onda \lambda=2\pi/\beta.
– Velocidade de fase v_p=\omega/\beta.

Passo 2

Da profundidade de penetração \delta obtemos o coeficiente de atenuação
\alpha = \frac{1}{\delta} = \frac{1}{5\;\text{m}} = 0{,}2\;\text{Np/m}.
Em bom condutor vale \alpha=\beta e também \alpha = \sqrt{\pi f \mu \sigma}.

Passo 3

Isolando \sigma em \alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}, temos
\sigma = \frac{\alpha^2}{\pi f\,\mu}.
Substituindo f=1\times10^{6}\;\text{Hz} e \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\;\mathrm{H/m},
\sigma = \frac{(0{,}2)^2}{\pi\,(1\times10^{6})\,(4\pi\times10^{-7})} = \frac{0{,}04}{4\pi^2\times10^{-1}} \approx 0{,}010\;\mathrm{S/m}.

Passo 4

O coeficiente de fase \beta em bom condutor é igual a \alpha, logo
\beta = 0{,}2\;\mathrm{rad/m}.
O comprimento de onda no meio é
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} = \frac{2\pi}{0{,}2} \approx 31{,}4\;\mathrm{m}.

Passo 5

A velocidade de fase é
v_p = \frac{\omega}{\beta} \quad\text{com}\quad \omega = 2\pi f = 2\pi\times10^{6}\;\mathrm{rad/s},
portanto
v_p = \frac{2\pi\times10^{6}}{0{,}2} \approx 3{,}14\times10^{7}\;\mathrm{m/s}.

Resposta

a) \sigma \approx 0{,}010\;\mathrm{S/m}
b) \lambda \approx 31{,}4\;\mathrm{m}
c) v_p \approx 3{,}14\times10^{7}\;\mathrm{m/s}

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