Uma onda plana em um meio não-magnético sem perdas tem campo elétrico dado por: \mathbf{E}=50 \sin \left(10^{8} t+2 z\right) \hat{\mathbf{a}}_{\mathbf{v}} \mathrm{mV} / \mathrm{m}
onde t é dado em segundos e z é dado em metros. Encontre:
a) a representação complexa de E e a orientação de propagação da onda;
b) \lambda, f \mathrm{e} \circ índice de refração do meio;
c) o campo H , tanto na forma complexa quanto no domínio temporal.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana senoidal em um meio não magnagnético e sem perdas, com campo elétrico no domínio do tempo
\mathbf{E}(z,t)=50\sin\bigl(10^{8}t+2z\bigr)\,\hat a_{v}\;\mathrm{mV/m}.
Aqui temos uma onda harmônica de frequência angular \omega e número de onda k, e precisamos usar:
  • A representação fasorial \tilde{\mathbf{E}}(z) e a relação entre fasor e domínio do tempo.
  • As fórmulas \omega=2\pi f, k=2\pi/\lambda e velocidade v=\omega/k.
  • Índice de refração n=c/v.
  • A relação entre campos \tilde{\mathbf{E}} e \tilde{\mathbf{H}}:
\tilde{\mathbf{H}}=\frac{1}{\eta}\,\hat k\times\tilde{\mathbf{E}},
com \eta=\sqrt{\mu/\varepsilon} e, no nosso caso, \mu=\mu_{0}, \eta_{0}=120\pi.

Passo 2

Extraímos os parâmetros básicos da expressão dada:
\omega=10^{8}\\ \mathrm{rad/s}, \qquad k=2\\ \mathrm{rad/m}, \qquad E_{0}=50\\ \mathrm{mV/m}=50\times10^{-3}\\ \mathrm{V/m}.
Como o argumento está \omega t+ k z, o frente de fase \omega t + k z = \mathrm{const} desloca-se com z aumentando => a onda viaja no sentido -z.

Passo 3

A representação complexa (fasor) de \mathbf{E} é
\tilde{\mathbf{E}}(z) =E_{0}\,e^{+j k z}\,\hat a_{v} =50\times10^{-3}\,e^{j\,2z}\,\hat a_{v}\quad(\mathrm{V/m}),
e no domínio do tempo
\mathbf{E}(z,t) =\Re\bigl\{\tilde{\mathbf{E}}(z)\,e^{j\omega t}\bigr\} =50\sin\bigl(10^{8}t+2z\bigr)\,\hat a_{v}\;\mathrm{mV/m}.
Orientação de propagação: sentido -z.

Passo 4

Calculamos
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi\\ \mathrm{m}, \qquad f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{10^{8}}{2\pi}\approx1{,}59\times10^{7}\\ \mathrm{Hz},
velocidade de fase
v=\frac{\omega}{k}=\frac{10^{8}}{2}=5\times10^{7}\\ \mathrm{m/s},
e índice de refração
n=\frac{c}{v}=\frac{3\times10^{8}}{5\times10^{7}}=6.

Passo 5

No meio temos \eta=\eta_{0}/n=(120\pi)/6=20\pi\approx62{,}83\\ \Omega. O versor de propagação é \hat k=-\,\hat a_{z}. Usando
\tilde{\mathbf{H}} =\frac{1}{\eta}\,\hat k\times\tilde{\mathbf{E}} =\frac{E_{0}}{\eta}\,\bigl(-\hat a_{z}\bigr)\times\hat a_{v},
supondo \hat a_{v}=\hat a_{y}, obtemos (-\hat a_{z})\times\hat a_{y}=+\hat a_{x}. Logo
\tilde{\mathbf{H}}(z) =\frac{50\times10^{-3}}{20\pi}\,e^{j\,2z}\,\hat a_{x} \approx7{,}96\times10^{-4}\,e^{j\,2z}\,\hat a_{x}\quad(\mathrm{A/m}).
No domínio do tempo:
\mathbf{H}(z,t) =\Re\bigl\{\tilde{\mathbf{H}}(z)\,e^{j\omega t}\bigr\} =7{,}96\times10^{-4}\,\sin\bigl(10^{8}t+2z\bigr)\,\hat a_{x}\;\mathrm{A/m}.

Resposta

a) \displaystyle \tilde{\mathbf{E}}(z)=50\times10^{-3}\,e^{j\,2z}\,\hat a_{v} V/m. A onda propaga-se no sentido -z.
b) \displaystyle \lambda=\pi m, \displaystyle f=\frac{10^{8}}{2\pi}\approx1{,}59\times10^{7} Hz e \displaystyle n=6.
c) \displaystyle \tilde{\mathbf{H}}(z)=\frac{50\times10^{-3}}{20\pi}\,e^{j\,2z}\,\hat a_{x}\approx7{,}96\times10^{-4}e^{j\,2z}\,\hat a_{x} A/m, \displaystyle \mathbf{H}(z,t)=7{,}96\times10^{-4}\sin(10^{8}t+2z)\,\hat a_{x} A/m.

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