Com base no modelo do átomo de hidrogênio, no qual se considera um elétron descrevendo uma órbita circunferencial ao redor do núcleo, temos um exemplo de M.C.U. O raio dessa órbita é da ordem de 10-10 m. Sabe-se que a carga elementar é e = 1,6.10-19 C, a constante eletrostática do meio é k = 9.109 N.m2/C2, a massa do elétron é me = 9,1.10-31 kg e a massa do próton é mp = 1,67.10-27 kg. Nesse modelo atômico, a velocidade escalar do elétron é, aproximadamente:
a) 1,6.104 m/s.
b) 3,2.104 m/s.
c) 1,6.106 m/s.
d) 3,2.106 m/s.
e) 1,6.109 m/s.
a) 1,6.104 m/s.
b) 3,2.104 m/s.
c) 1,6.106 m/s.
d) 3,2.106 m/s.
e) 1,6.109 m/s.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos que calcular a velocidade do elétron numa órbita circular ao redor do núcleo de um átomo de hidrogênio, usando um modelo simples. Para isso, vamos precisar de conceitos de força eletrostática e movimento circular uniforme (M.C.U.). Vamos usar as informações fornecidas sobre carga, constante eletrostática, massa do elétron e raio da órbita para achar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo do átomo de hidrogênio, o elétron está em equilíbrio entre duas forças: a força eletrostática de atração que o mantém próximo ao núcleo e a força centrípeta necessária para mantê-lo em movimento circular.
A força eletrostática (F_e) entre o elétron e o próton é dada por:
Onde:
- $ k = 9,109 \times 10^9 , N \cdot m2/\text{C}2 $ (constante eletrostática)
- $ e = 1,6 \times 10^{-19} , C $ (carga elementar)
- $ r = 10^{-10} , m $ (raio da órbita)
Passo 3
Agora, a força centrípeta (F_c) que mantém o elétron na órbita é dada por:
Onde:
- $ m_e = 9,1 \times 10^{-31} , kg $ (massa do elétron)
- $ v $ é a velocidade que queremos encontrar
- $ r = 10^{-10} , m $ (raio da órbita)
Como as duas forças se equilibram, podemos igualar $ F_e $ e $ F_c $:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar $ v $. Primeiro, simplificamos a equação:
Agora, extraímos a raiz quadrada para encontrar $ v $:
Passo 5
Vamos substituir os valores numéricos na fórmula:
Calculando passo a passo:
- Primeiro, calcule $ e^2 $:
- Multiplique por $ k $:
- No denominador, multiplique $ m_e $ por $ r $:
- Agora, divida o numerador pelo denominador:
- Por fim, tire a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade escalar do elétron é, aproximadamente, $ 1,6 \times 10^6 , m/s $. A alternativa correta é a letra c) 1,6 \times 10^6 , m/s.