Em certo jogo digital, é preciso ajustar o ângulo de tiro e o módulo da velocidade inicial de um projétil para lançá-lo obliquamente e atingir com precisão determinado alvo. Em determinado instante, o alvo estava posicionado a 90 m do atirador e o jogador atribuiu ao projétil a velocidade inicial de 30 m/s. Qual o ângulo \dpi{90} \sf\theta de lançamento que o jogador deve adotar para acertar o alvo com o disparo, sabendo que sen \dpi{90} \sf\theta = cos \dpi{90} \sf\theta?
15°
30°
45°
60°

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre lançar um projétil em um jogo digital para acertar um alvo que está a 90 metros de distância. A gente precisa descobrir qual o ângulo de lançamento ( theta) que o jogador deve usar, sabendo que a velocidade inicial é de 30 m/s e que sin theta = cos theta. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cinemática, especificamente sobre movimento oblíquo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição sin theta = cos theta. Isso significa que o seno e o cosseno do ângulo theta são iguais. Sabemos que isso ocorre quando theta = 45^circ, pois sin 45^circ = cos 45^circ = raiz22. Mas vamos confirmar isso com mais detalhes.

Passo 3

Vamos lembrar que, no lançamento oblíquo, a distância horizontal ( R) atingida pelo projétil é dada pela fórmula:
R = v0^2 sin(2theta)g
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial (30 m/s),
  • theta é o ângulo de lançamento,
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²).
Sabemos que R = 90 m. Vamos usar isso para encontrar theta.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
90 = 30^2 sin(2theta)9,8
90 = 900 sin(2theta)9,8
Multiplicando ambos os lados por 9,8:
90 times 9,8 = 900 sin(2theta)
882 = 900 sin(2theta)
Dividindo ambos os lados por 900:
sin(2theta) = 882900 = 0,98

Passo 5

Agora, para encontrar 2theta, precisamos calcular o arco seno de 0,98:
2theta = arcsin(0,98) approx 78,5^circ
Dividindo por 2 para encontrar theta:
theta approx 78,5^circ2 = 39,25^circ

Passo 6

No entanto, sabemos que sin theta = cos theta ocorre quando theta = 45^circ. A pequena diferença no cálculo anterior pode ser devido a arredondamentos na aceleração da gravidade ou outras simplificações. Portanto, a resposta mais apropriada entre as opções dadas é 45^circ.

Resposta

45°

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