Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
Série de senos, período
:
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Série de senos, período
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de séries de Fourier, especificamente uma série de senos, com período
. A função que precisamos representar é
no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier usando apenas termos de senos, e calcular os coeficientes que vão compor essa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de senos para uma função com período
tem a forma:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar. Como nossa função
é definida de
a
, e queremos estender isso para o período
, estamos lidando com uma função ímpar em um intervalo simétrico, o que é adequado para uma série de senos.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
, usamos a fórmula:
No nosso caso,
, então a fórmula simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
A antiderivada de
é
. Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula de
:
Isso nos dá o valor dos coeficientes
para cada termo da série.
Passo 6
Agora, podemos escrever a série de Fourier completa usando esses coeficientes:
Resposta
A série de Fourier de senos para a função
no período
é: