Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
Série de senos, período 2 pi : f(x)=1,0<x<pi.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de séries de Fourier, especificamente uma série de senos, com período 2pi. A função que precisamos representar é f(x)=1 no intervalo 0 < x < pi. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier usando apenas termos de senos, e calcular os coeficientes que vão compor essa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de senos para uma função com período 2pi tem a forma:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(nx)
Aqui, bn são os coeficientes que precisamos encontrar. Como nossa função f(x) é definida de 0 a pi, e queremos estender isso para o período 2pi, estamos lidando com uma função ímpar em um intervalo simétrico, o que é adequado para uma série de senos.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes bn, usamos a fórmula:
bn = 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx
No nosso caso, f(x) = 1, então a fórmula simplifica para:
bn = 2pi integral0^pi sin(nx) , dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral0^pi sin(nx) , dx
A antiderivada de sin(nx) é -1n cos(nx). Aplicando os limites de integração:
-1n cos(npi) + 1n cos(0) = 1n [cos(0) - cos(npi)]
Sabemos que cos(0) = 1 e cos(npi) = (-1)^n, então:
1n [1 - (-1)^n] = 1 - (-1)^nn

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula de bn:
bn = 2pi cdot 1 - (-1)^nn = 2(1 - (-1)^n)pi n
Isso nos dá o valor dos coeficientes bn para cada termo da série.

Passo 6

Agora, podemos escrever a série de Fourier completa usando esses coeficientes:
f(x) = sumn=1^infty 2(1 - (-1)^n)pi n sin(nx)

Resposta

A série de Fourier de senos para a função f(x)=1 no período 2pi é:
f(x) = sumn=1^infty 2(1 - (-1)^n)pi n sin(nx)

Exercícios relacionados