A base de um monte de terra cobre a região do plano
que é delimitada pela parábola
e pela reta
. A altura da terra acima do ponto
é dada por
. Expresse o volume da terra como:
Uma integral tripla;
Uma integral tripla;
Passo 1
Beleza, vou te explicar o que a questão pede. Temos uma base no plano
limitada pela parábola
e pela reta
. Além disso, a altura da terra acima de cada ponto
é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa terra usando uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais múltiplas e como determinar os limites de integração para as variáveis envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região do plano
que está delimitada pelas curvas
e
. Para entender melhor essa região, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam. Igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as soluções são
e
. Isso significa que as duas curvas se interceptam quando
é 0 e 2.
Passo 4
Agora que sabemos que
varia de 0 a 2, precisamos determinar para cada valor de
quais são os valores de
que pertencem à região. Observando as funções:
- A parábola
está abaixo da reta nesse intervalo de , porque para entre 0 e 2, é menor que .
Então, para cada
entre 0 e 2,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, sabemos que a altura da terra acima de cada ponto
é
. Isso significa que para cada ponto na base, o valor de
vai de 0 até
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos montar a integral tripla para o volume
:
Essa integral tripla calcula o volume somando todos os pequenos volumes
dentro dos limites definidos para
,
e
.
Resposta
O volume da terra é dado pela integral tripla: