A base de um monte de terra cobre a região do plano x y que é delimitada pela parábola y=x^2-4 e pela reta y=2 x-4. A altura da terra acima do ponto (x, y) é dada por 3-x. Expresse o volume da terra como:
Uma integral tripla;

Passo 1

Beleza, vou te explicar o que a questão pede. Temos uma base no plano xy limitada pela parábola y = x^2 - 4 e pela reta y = 2x - 4. Além disso, a altura da terra acima de cada ponto (x, y) é dada por 3 - x. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa terra usando uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais múltiplas e como determinar os limites de integração para as variáveis envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região do plano xy que está delimitada pelas curvas y = x^2 - 4 e y = 2x - 4. Para entender melhor essa região, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam. Igualando as duas expressões para y:
x^2 - 4 = 2x - 4

Passo 3

Resolvendo a equação:
x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 2. Isso significa que as duas curvas se interceptam quando x é 0 e 2.

Passo 4

Agora que sabemos que x varia de 0 a 2, precisamos determinar para cada valor de x quais são os valores de y que pertencem à região. Observando as funções:
  • A parábola y = x^2 - 4 está abaixo da reta y = 2x - 4 nesse intervalo de x, porque para x entre 0 e 2, x^2 é menor que 2x.
Então, para cada x entre 0 e 2, y varia de x^2 - 4 até 2x - 4.

Passo 5

Agora, sabemos que a altura da terra acima de cada ponto (x, y) é 3 - x. Isso significa que para cada ponto na base, o valor de z vai de 0 até 3 - x.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos montar a integral tripla para o volume V:
V = integralx=0^2 integraly=x^2-4^2x-4 integralz=0^3 - x dz , dy , dx
Essa integral tripla calcula o volume somando todos os pequenos volumes dV = dz , dy , dx dentro dos limites definidos para x, y e z.

Resposta

O volume da terra é dado pela integral tripla:
V = integral0^2 integralx^2-4^2x-4 integral0^3 - x dz , dy , dx

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