Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
m) f(x)=1raizx-1+1x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função f(x) = 1raizx-1 + 1x-5 . A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre funções, domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar identificar quais valores de x tornam a função definida e, depois, descobrir quais valores f(x) pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função, ou seja, todos os valores de x para os quais a função está definida. A função tem duas partes: 1raizx-1 e 1x-5 .

Passo 3

Para 1raizx-1 :
  • O que está embaixo da raiz quadrada, x - 1 , precisa ser maior que zero porque a raiz quadrada de número negativo não é real.
  • Então, temos x - 1 > 0 que resulta em x > 1 .

Passo 4

Além disso, 1raizx-1 não pode ter o denominador igual a zero. Mas como já garantimos que raizx-1 > 0 quando x > 1 , essa parte está ok.

Passo 5

Agora, para 1x-5 :
  • O denominador x - 5 não pode ser igual a zero porque não dá para dividir por zero.
  • Então, x - 5 neq 0 resulta em x neq 5 .

Passo 6

Juntando as duas condições:
  • x > 1 e x neq 5 .

Passo 7

Portanto, o domínio da função f(x) é todos os números reais maiores que 1, exceto 5. Em notação matemática:
Domínio: x in (1, 5) cup (5, +infty) í

Passo 8

Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os valores que f(x) pode assumir. Para isso, precisamos analisar o comportamento da função.

Passo 9

Observando a função f(x) = 1raizx-1 + 1x-5 :
  • Quando x se aproxima de 1 pelo lado direito, 1raizx-1 tende a +infty e 1x-5 tende a -14 . Então, f(x) tende a +infty .
  • Quando x se aproxima de 5 pelo lado esquerdo, 1raizx-1 é finito e 1x-5 tende a -infty . Então, f(x) tende a -infty .
  • Quando x vai para +infty , ambas as frações tendem a zero, então f(x) tende a 0.

Passo 10

Além disso, a função é contínua no domínio definido, o que significa que ela assume todos os valores entre -infty e +infty passando por 0.

Passo 11

Portanto, a imagem da função f(x) é todos os números reais, ou seja:
Ima>=m: y in R

Resposta

Domínio: x in (1, 5) cup (5, +infty)
Imagem: y in R

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