Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
m)
m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio e a imagem da função
. A matéria que estamos trabalhando aqui é sobre funções, domínio e imagem. Para resolver, vamos precisar identificar quais valores de
tornam a função definida e, depois, descobrir quais valores
pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função, ou seja, todos os valores de
para os quais a função está definida. A função tem duas partes:
e
.
Passo 3
Para
:
- O que está embaixo da raiz quadrada,
, precisa ser maior que zero porque a raiz quadrada de número negativo não é real. - Então, temos
que resulta em .
Passo 4
Além disso,
não pode ter o denominador igual a zero. Mas como já garantimos que
quando
, essa parte está ok.
Passo 5
Agora, para
:
- O denominador
não pode ser igual a zero porque não dá para dividir por zero. - Então,
resulta em .
Passo 6
Juntando as duas condições:
-
e .
Passo 7
Portanto, o domínio da função
é todos os números reais maiores que 1, exceto 5. Em notação matemática:
Passo 8
Agora, vamos achar a imagem da função, ou seja, todos os valores que
pode assumir. Para isso, precisamos analisar o comportamento da função.
Passo 9
Observando a função
:
- Quando
se aproxima de 1 pelo lado direito, tende a e tende a . Então, tende a . - Quando
se aproxima de 5 pelo lado esquerdo, é finito e tende a . Então, tende a . - Quando
vai para , ambas as frações tendem a zero, então tende a 0.
Passo 10
Além disso, a função é contínua no domínio definido, o que significa que ela assume todos os valores entre
e
passando por 0.
Passo 11
Portanto, a imagem da função
é todos os números reais, ou seja:
Resposta
Domínio:
Imagem: