Se E=e1, e2, e3 é uma base de V^3, mostre que F=f1, f2, f3, onde
f1=-e3, f2=e1-e2 e f3=e1+e2+e3
é uma base de V^3. Se u=(1,1,4)E, encontre as coordenadas de u na base F.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto F = f1, f2, f3 é uma base de V^3 e depois encontrar as coordenadas do vetor u = (1,1,4)E na base F . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases de espaços vetoriais e como mudar de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos mostrar que F é realmente uma base de V^3 . Para isso, uma base precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente Independente: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
  2. Gerar todo o espaço: Qualquer vetor de V^3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Vamos montar a matriz com os vetores de F e verificar se o determinante é diferente de zero, o que garante que os vetores são linearmente independentes e, portanto, uma base.
A matriz formada por F é:
A = 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1
Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 0 cdot det -1 & 1 0 & 1 - 1 cdot det 0 & 1 -1 & 1 + 1 cdot det 0 & -1 -1 & 0
det(A) = 0 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-1)) + 1 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot (-1))
det(A) = 0 - 1 cdot (0 + 1) + 1 cdot (0 - 1)
det(A) = 0 - 1 - 1 = -2
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = -2 neq 0 ), os vetores de F são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de V^3 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor u = (1,1,4)E na base F . Isso significa que queremos encontrar escalares a, b, c tais que:
u = af1 + bf2 + cf3
Substituindo os vetores de F :
(1,1,4) = a(-e3) + b(e1 - e2) + c(e1 + e2 + e3)
Vamos escrever isso em termos das componentes:
1 = b + c (componente e1)
1 = -b + c (componente e2)
4 = -a + c (componente e3)
Agora, vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 4

Primeiro, da primeira equação:
1 = b + c Rightarrow b = 1 - c
Da segunda equação:
1 = -b + c
Substituindo b da primeira equação:
1 = -(1 - c) + c 1 = -1 + c + c 1 = -1 + 2c 2c = 2 c = 1
Agora que temos c = 1 , podemos encontrar b :
b = 1 - c = 1 - 1 = 0
Finalmente, da terceira equação:
4 = -a + c 4 = -a + 1 -a = 3 a = -3

Resposta

As coordenadas do vetor u = (1,1,4)E na base F são boxed(-3, 0, 1).

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