Se é uma base de V^3, mostre que F=f1, f2, f3, onde
f1=-e3, f2=e1-e2 e f3=e1+e2+e3
é uma base de V^3. Se u=(1,1,4)E, encontre as coordenadas de u na base F.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto F = f1, f2, f3 é uma base de V^3 e depois encontrar as coordenadas do vetor u = (1,1,4)E na base F . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre bases de espaços vetoriais e como mudar de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, precisamos mostrar que F é realmente uma base de V^3 . Para isso, uma base precisa satisfazer duas condições:
Linearmente Independente: Os vetores não podem ser combinações lineares uns dos outros.
Gerar todo o espaço: Qualquer vetor de V^3 pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Vamos montar a matriz com os vetores de F e verificar se o determinante é diferente de zero, o que garante que os vetores são linearmente independentes e, portanto, uma base.