Determine a ordem do polo de f em a e calcule res (f, a) onde
f(z)=e^-zz^n+1, a=0;

Passo 1

O enunciado pede a ordem do polo de
f(z)=e^-zz^n+1
em a=0 e o cálculo de Res(f,0). Vamos usar o desenvolvimento em série de Laurent em torno de z=0.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de e^-z:
e^-z=sumk=0^infty(-1)^kk!,z^k

Passo 3

Multiplicando pela parte singular z^-(n+1) obtemos a série de Laurent de f:
f(z)=e^-zz^n+1 =sumk=0^infty(-1)^kk!,z^k-(n+1)
Dessa forma fica claro que o termo de ordem mais negativa é z^-(n+1), logo f tem polo de ordem n+1 em 0.

Passo 4

A definição de resíduo diz que Res(f,0) é o coeficiente de z^-1 nessa série. Igualando
k-(n+1)=-1 Longrightarrow k=n,
o coeficiente é (-1)^nn!. Portanto,
Res(f,0)=(-1)^nn!

Resposta

Ordem do polo em 0: n+1.
Resíduo Res(f,0)=dfrac(-1)^nn!.

Exercícios relacionados