Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
f(z)=cos (1 / z);

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Laurent de
f(z)=cos!l(1/zr)
em torno de sua singularidade. Aqui o conteúdo é série de Taylor de cos(omega) em torno de omega=0, substituindo depois omega=1/z. A única singularidade de cos(1/z) é em z=0, e ela é essencial.

Passo 2

Começamos da série de Taylor bem\mbox{-}conhecida de cos(omega) válida para todo omega:
cos(omega)=sumn=0^infty(-1)^nomega^2n(2n)!
Agora tomamos omega=1/z. Isso nos dá diretamente a expansão de Laurent de f em torno de z=0:
cos!l(1/zr) =sumn=0^infty(-1)^n1(2n)!,1z^2n

Resposta

A expansão de Laurent de cos(1/z) em torno de z=0 é
boxedcos!l(1/zr) =sumn=0^infty(-1)^n1(2n)!,z^-2n,
válida no anel
0<|z|<infty,
ou seja, na região puncturada onde zneq0.

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