Determinar os valores de a e b que tornam o sistema
\n 3 x-7 y & =a x+y & =b 5 x+3 y & =5 a+2 b x+2 y & =a+b-1
compatível e determinado. Em seguida resolver o sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de quatro equações lineares em (x,y) com parâmetros a e b. O conteúdo envolve sistemas lineares superdeterminados, critérios de compatibilidade e solução única. Para resolver, vamos usar a solução das duas primeiras equações (que formam um sistema 2times2 inversível) para expressar x e y em função de a e b, e depois exigir que as equações 3 e 4 sejam satisfeitas, determinando os valores de a e b. Em seguida, obtemos a solução (x,y).

Passo 2

Das duas primeiras equações,
3x - 7y = a,
x + y = b,
o determinante da matriz dos coeficientes é 3cdot 1 - (-7)cdot 1 = 10 neq 0, logo há solução única. Resolvendo, isolamos x = b - y em (x+y=b) e substituímos em (3x -7y = a):
3(b - y) - 7y = a
3b - 3y - 7y = a
10y = 3b - a
y = 3b - a10,
x = b - 3b - a10 = 10b - (3b - a)10 = 7b + a10

Passo 3

Para a terceira equação
5x + 3y = 5a + 2b,
substituímos x e y:
5!l(7b+a10r)+3!l(3b-a10r) = 5a + 2b
35b+5a+9b-3a10 = 5a+2b
44b+2a10 = 5a+2b
22b + a = 25a + 10b
12b = 24a
b = 2a

Passo 4

Para a quarta equação
x + 2y = a + b - 1,
substituímos x e y:
7b + a10 + 2cdot 3b - a10 = a + b - 1
7b + a + 6b - 2a10 = a + b - 1
13b - a10 = a + b - 1
13b - a = 10a + 10b - 10
3b = 11a - 10
b = 11a - 103

Passo 5

Igualando as duas expressões de b:
2a = 11a - 103
6a = 11a - 10
5a = 10
a = 2,
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b = 2a = 4

Passo 6

Com a=2 e b=4, substituímos em
y = 3b - a10 = 12 - 210 = 1,
x = 7b + a10 = 28 + 210 = 3

Resposta

a = 2, b = 4, (x,y) = (3,1)

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