Dadas as retas
r1: x-12=-y, z=3 e r2:c x=lambda y=-1+lambda z=2+lambda
encontre equações paramétricas da reta que passa por A=(0,1,0) e pelo ponto de interseção de r1 com r2.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por A=(0,1,0) e pelo ponto de interseção de
r1:x-12=-y, z=3
com
r2: x=lambda, y=-1+lambda, z=2+lambda
O conteúdo envolve parametrizar retas, resolver um sistema para achar o ponto de interseção e, em seguida, obter a equação paramétrica da reta que une dois pontos.

Passo 2

Parametrizamos r1 usando um parâmetro t. Da equação x-12=-y temos
x-1=-2yLongrightarrow x=1-2t, y=t,
e também z=3. Logo
r1:;x=1-2t,;y=t,;z=3

Passo 3

Para a interseção, igualamos essas coordenadas às de r2. Em r2 temos
x=lambda,;y=lambda-1,;z=lambda+2
Igualando a r1:
  1. 1-2t=lambda,
  2. t=lambda-1,
  3. 3=lambda+2.
    Da terceira equação vem lambda=1. Então t=lambda-1=0 e lambda=1. O ponto de interseção é
P=(x,y,z)=(1,0,3)

Passo 4

Agora queremos a reta que passa por A=(0,1,0) e P=(1,0,3). O vetor direção é
AP=P-A=(1-0,;0-1,;3-0)=(1,-1,3)
Usando parâmetro s, a equação paramétrica fica
x=0+1cdot s=s, y=1-1cdot s=1-s, z=0+3cdot s=3s

Resposta

boxedx=s, y=1-s, z=3s, sinR

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