Calcule
\int_{\gamma} x^{3} y^{10} z d s, onde \gamma(t)=(\cos t, \sin t, 0), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma} x^{3}y^{10}z\,ds
ao longo da curva dada por
\gamma(t)=(\cos t,\;\sin t,\;0),\qquad 0\le t\le \pi.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t,\quad z(t)=0,\quad 0\le t\le\pi.
A curva está parametrizada em termos de t e a integral é do tipo “função escalar ao longo da curva” multiplicada por ds (elemento de comprimento de arco).

Passo 2

O que significa integrar uma função escalar ao longo de uma curva usando ds? Vou explicar devagarinho.
Se temos uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), a\le t\le b, e uma função escalar f(x,y,z), então a integral de linha de f em relação ao comprimento de arco é
\int_{\gamma} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Aqui:
  • f\big(x(t),y(t),z(t)\big) é a função escalar avaliada nos pontos da curva;
  • \mathbf{r}'(t) é a derivada da parametrização, isto é, o vetor velocidade;
  • \|\mathbf{r}'(t)\| é o comprimento desse vetor velocidade e representa a taxa de variação do comprimento de arco em relação a t;
  • dt é o diferencial do parâmetro.
    Essa fórmula permite transformar a integral sobre a curva numa integral usual em t.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, tomamos
f(x,y,z)=x^{3}y^{10}z
e substituímos x(t),y(t),z(t) fornecidos pelo enunciado. Então
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=\big(\cos t\big)^{3}\big(\sin t\big)^{10}\big(0\big).
Perceba que eu usei diretamente z(t)=0 obtido da parametrização \gamma(t). Como há um fator multiplicando por z(t), isso já zera toda a expressão:
f\big(x(t),y(t),z(t)\big)=0\qquad\text{para todo }t\in[0,\pi].

Passo 4

Vamos calcular a norma do vetor velocidade \mathbf{r}'(t). Primeiro derivamos componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;0\big).
A norma é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+0^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=\sqrt{1}=1.
Aqui usei a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 5

Agora montamos a integral em t usando a fórmula do Passo 2:
\int_{\gamma} x^{3}y^{10}z\,ds = \int_{0}^{\pi} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Substituindo o que achamos nos passos anteriores:
\int_{0}^{\pi} 0\cdot 1\,dt = \int_{0}^{\pi} 0\,dt = 0.
Portanto a integral vale 0. É simples: o fato de z=0 ao longo de toda a curva faz com que o integrando seja identicamente zero.

Resposta

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