Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
ao longo da curva dada por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva está parametrizada em termos de
e a integral é do tipo “função escalar ao longo da curva” multiplicada por
(elemento de comprimento de arco).
Passo 2
O que significa integrar uma função escalar ao longo de uma curva usando
? Vou explicar devagarinho.
Se temos uma curva parametrizada por
,
, e uma função escalar
, então a integral de linha de
em relação ao comprimento de arco é
Aqui:
-
é a função escalar avaliada nos pontos da curva; -
é a derivada da parametrização, isto é, o vetor velocidade; -
é o comprimento desse vetor velocidade e representa a taxa de variação do comprimento de arco em relação a ; -
é o diferencial do parâmetro.
Essa fórmula permite transformar a integral sobre a curva numa integral usual em.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso, tomamos
e substituímos
fornecidos pelo enunciado. Então
Perceba que eu usei diretamente
obtido da parametrização
. Como há um fator multiplicando por
, isso já zera toda a expressão:
Passo 4
Vamos calcular a norma do vetor velocidade
. Primeiro derivamos componente a componente:
A norma é
Aqui usei a identidade trigonométrica
.
Passo 5
Agora montamos a integral em
usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo o que achamos nos passos anteriores:
Portanto a integral vale
. É simples: o fato de
ao longo de toda a curva faz com que o integrando seja identicamente zero.