Encontre as derivadas parciais de
nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, onde a função é
Informações dadas relevantes:
Passo 2
O que significa “derivada parcial”? Vou dar a definição formal e explicar em palavras:
Isto quer dizer: para calcular
tratamos
e
como constantes e diferenciamos em relação a
. Analogamente,
tratando
e
como constantes; e
tratando
e
como constantes.
Passo 3
Vou lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (mini-aula):
- Derivada de
em relação a é
onde
, então
.
- Derivada de
em relação a é
- Regra do produto (quando tivermos
e cada um depende de variáveis): . - Se uma expressão não depende de uma variável (é constante em relação a ela), a derivada em relação a essa variável é zero.
No nosso caso as “complicações” são mínimas:e têm derivadas diretas, e em o será tratado como constante quando diferenciarmos em .
Passo 4
Cálculo de
.
Escrevo
. Para
tratamos
e
como constantes.
- Derivada de
em relação a é (pela fórmula acima). - Para
: é constante perante , então é como multiplicar a constante por a função . Assim a derivada é vezes a derivada de , que é .
Somando os dois resultados:
Passo 5
Cálculo de
.
Agora tratamos
e
como constantes e diferenciamos em relação a
.
- O termo
não depende de , então sua derivada em relação a é . - O termo
é produto de (variável) por (constante quando derivamos em ). A derivada de em relação a é , então a derivada é simplesmente .
Portanto
Passo 6
Cálculo de
.
A função dada não contém
. Quando uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero. Logo
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (um empurrão amigo):
- Para derivada parcial, sempre pergunte: “quais variáveis eu considero constantes agora?” — isso salva bastante tempo.
- Memorize as derivadas básicas:
e . Se esquecer, lembre que e aplique quociente para deduzir. - Se pedirem avalie as derivadas em um ponto específico, basta substituir depois (sem recomputar as regras).