Encontre as derivadas parciais de f nos seguintes casos.
f(x, y, z)=\tan x+y \sin x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais de f em relação a x, y e z, onde a função é
f(x,y,z)=\tan x + y\sin x.
Informações dadas relevantes:
\text{variáveis: }x,\;y,\;z.á
f \text{ depende de }x\text{ e }y\text{ explicitamente; não depende de }z\text{ (não aparece).}ãã

Passo 2

O que significa “derivada parcial”? Vou dar a definição formal e explicar em palavras:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Isto quer dizer: para calcular \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes e diferenciamos em relação a x. Analogamente,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h},
tratando x e z como constantes; e
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h},
tratando x e y como constantes.

Passo 3

Vou lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (mini-aula):
  • Derivada de \tan u em relação a u é
\frac{d}{du}\tan u = \operatorname{sec}^{2}u,
onde \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u}, então \operatorname{sec}^{2}u=\dfrac{1}{\cos^{2}u}.
  • Derivada de \sin u em relação a u é
\frac{d}{du}\sin u = \cos u.
  • Regra do produto (quando tivermos a\cdot b e cada um depende de variáveis): \dfrac{d}{dx}(a b)=a'\,b + a\,b'.
  • Se uma expressão não depende de uma variável (é constante em relação a ela), a derivada em relação a essa variável é zero.
    No nosso caso as “complicações” são mínimas: \tan x e \sin x têm derivadas diretas, e em y\sin x o y será tratado como constante quando diferenciarmos em x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Escrevo f(x,y,z)=\tan x + y\sin x. Para \partial/\partial x tratamos y e z como constantes.
  • Derivada de \tan x em relação a x é \operatorname{sec}^{2}x (pela fórmula acima).
  • Para y\sin x: y é constante perante x, então é como multiplicar a constante y por a função \sin x. Assim a derivada é y vezes a derivada de \sin x, que é y\cos x.
Somando os dois resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\operatorname{sec}^{2}x + y\cos x.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora tratamos x e z como constantes e diferenciamos em relação a y.
  • O termo \tan x não depende de y, então sua derivada em relação a y é 0.
  • O termo y\sin x é produto de y (variável) por \sin x (constante quando derivamos em y). A derivada de y em relação a y é 1, então a derivada é simplesmente \sin x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\sin x.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
A função dada não contém z. Quando uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero. Logo
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=0.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (um empurrão amigo):
  • Para derivada parcial, sempre pergunte: “quais variáveis eu considero constantes agora?” — isso salva bastante tempo.
  • Memorize as derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Se esquecer, lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplique quociente para deduzir.
  • Se pedirem avalie as derivadas em um ponto específico, basta substituir depois (sem recomputar as regras).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sec}^{2}x + y\cos x
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\sin x
\dfrac{\partial f}{\partial z}=0

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