Na base x, o número de três dígitos 7 y 3 é duas vezes o número 3 y 7. Quem é x+y na base 10 ?

Passo 1

O enunciado dá dois números de três dígitos na base x: 7y3 e 3y7, e afirma que
7y3 = 2;3y7
O conteúdo aqui é conversão de números de uma base qualquer para decimal e solução de equação diofantina com restrição de dígitos.

Passo 2

Em base x, temos
7y3 = 7x^2 + yx + 3,
3y7 = 3x^2 + yx + 7
Como 7y3 = 2,3y7, escrevemos a equação
7x^2 + yx + 3 = 2,(3x^2 + yx + 7)

Passo 3

Expandindo e simplificando essa equação:
7x^2 + yx + 3 = 6x^2 + 2yx + 14 Longrightarrow x^2 - yx - 11 = 0

Passo 4

Da relação x^2 - yx -11=0 isolamos
y = x^2 - 11x = x - 11x
Para y inteiro, x deve dividir 11. Como x é a base e deve satisfazer x>max7,y, a única possibilidade é x=11, dando
y = 11 - 1111 = 10,
e de fato y<11 é válido.

Passo 5

Finalmente, em base 10 temos
x + y = 11 + 10 = 21

Resposta

21

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