- (1,5 ponto) Mostre que
sem calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a integral de
de
até
está entre
e
. Para isso, vamos usar propriedades básicas de funções e integrais sem calcular a integral diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tangente,
, é crescente no intervalo considerado, ou seja, conforme
aumenta de
para
, o valor de
também aumenta. Isso é importante porque, se temos uma função crescente em um intervalo, podemos usar seus valores mínimo e máximo para estabelecer limites para a integral.
Passo 3
Vamos identificar os valores mínimo e máximo de
no intervalo de integração:
- Em
, . - Em
, .
Passo 4
Como a função é crescente, o menor valor que a função
atinge no intervalo é
e o maior é
. Podemos usar esses valores para criar uma desigualdade para a integral.
Passo 5
A integral de uma função crescente em um intervalo pode ser limitada multiplicando o comprimento do intervalo pelo valor mínimo e pelo valor máximo da função. O comprimento do intervalo de
até
é
.
Passo 6
Assim, temos:
Simplificando as expressões:
Resposta
Portanto, mostramos que
.