1. (1,5 ponto) Mostre que pi raiz318 <= integralpi6^pi3 tg x d x <= pi raiz36 sem calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a integral de tan x de pi6 até pi3 está entre pi raiz318 e pi raiz36. Para isso, vamos usar propriedades básicas de funções e integrais sem calcular a integral diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente, tan x, é crescente no intervalo considerado, ou seja, conforme x aumenta de pi6 para pi3, o valor de tan x também aumenta. Isso é importante porque, se temos uma função crescente em um intervalo, podemos usar seus valores mínimo e máximo para estabelecer limites para a integral.

Passo 3

Vamos identificar os valores mínimo e máximo de tan x no intervalo de integração:
  • Em x = pi6, tan pi6 = 1raiz3.
  • Em x = pi3, tan pi3 = raiz3.

Passo 4

Como a função é crescente, o menor valor que a função tan x atinge no intervalo é 1raiz3 e o maior é raiz3. Podemos usar esses valores para criar uma desigualdade para a integral.

Passo 5

A integral de uma função crescente em um intervalo pode ser limitada multiplicando o comprimento do intervalo pelo valor mínimo e pelo valor máximo da função. O comprimento do intervalo de pi6 até pi3 é pi3 - pi6 = pi6.

Passo 6

Assim, temos:
pi6 times 1raiz3 <= integralpi6^pi3 tan x , dx <= pi6 times raiz3
Simplificando as expressões:
pi raiz318 <= integralpi6^pi3 tan x , dx <= pi raiz36

Resposta

Portanto, mostramos que pi raiz318 <= integralpi6^pi3 tan x , dx <= pi raiz36.

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