EXEMPLO 7
Seja
. Então
Como
integrando por partes, obtemos
Uma segunda integração por partes fornece
F(s) & =1a-s^2a^2 integral0^infty e^-s t sen a t d t & =1a-s^2a^2 F(s)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=sin(a t) , ou seja,
com
s>0 . Vamos aplicar integração por partes duas vezes e em seguida resolver uma equação algébrica para
F(s) .
Passo 2
Primeira integração por partes em
Escolhemos
logo
Temos então
Como
s>0 , o termo em
ttoinfty anula e em
t=0 temos
cos(0)=1 , resultando em
Passo 3
Defina
Para calcular
G(s) , fazemos segunda integração por partes com
portanto
Obtemos
Como
sin(0)=0 e o termo em
ttoinfty anula, concluímos
Passo 4
Substituindo
G(s) na expressão de
F(s) , vem
Agrupando os termos em
F(s) ,