EXEMPLO 7
Seja f(t)=sen a t, t >= 0. Então
Lsen a t=F(s)=integral0^infty e^-s t sen a t d t, s>0
Como
F(s)=lim A infty integral0^A e^-s t sen a t d t
integrando por partes, obtemos
F(s) & =lim A infty[-e^-s t cos a ta|0 ^A-sa integral0^A e^-s t cos a t d t] & =1a-sa integral0^infty e^-s t cos a t d t
Uma segunda integração por partes fornece
F(s) & =1a-s^2a^2 integral0^infty e^-s t sen a t d t & =1a-s^2a^2 F(s)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=sin(a t), ou seja,
F(s)=Lsin(a t)=integral0^inftye^-s tsin(a t),dt,
com s>0. Vamos aplicar integração por partes duas vezes e em seguida resolver uma equação algébrica para F(s).

Passo 2

Primeira integração por partes em
F(s)=integral0^inftye^-s tsin(a t),dt
Escolhemos
u=e^-s t, dv=sin(a t),dt,
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du=-s e^-s t,dt, v=-cos(a t)a
Temos então
F(s) =limAtoinftyl[u,vr]0^A -integral0^inftyv,du =limAtoinftyl[-e^-s tcos(a t)ar]0^A +saintegral0^inftye^-s tcos(a t),dt
Como s>0, o termo em ttoinfty anula e em t=0 temos cos(0)=1, resultando em
F(s)=1a-saintegral0^inftye^-s tcos(a t),dt

Passo 3

Defina
G(s)=integral0^inftye^-s tcos(a t),dt
Para calcular G(s), fazemos segunda integração por partes com
u=e^-s t, dv=cos(a t),dt,
portanto
du=-s e^-s t,dt, v=sin(a t)a
Obtemos
G(s) =limAtoinftyl[e^-s tsin(a t)ar]0^A -integral0^inftysin(a t)a(-s e^-s t),dt =saintegral0^inftye^-s tsin(a t),dt
Como sin(0)=0 e o termo em ttoinfty anula, concluímos
G(s)=saF(s)

Passo 4

Substituindo G(s) na expressão de F(s), vem
F(s) =1a-sa,G(s) =1a-sacdotsaF(s) =1a-s^2a^2,F(s)
Agrupando os termos em F(s),
F(s)l(1+s^2a^2r)=1a Longrightarrow F(s)=1/a1+s^2/a^2 =as^2+a^2

Resposta

Lsin(a t)(s)=as^2+a^2

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