Seja
a sequência dos primos. Defina recursivamente a sequência (
) pondo
Mostre que nenhum
é um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado define uma sequência de primos
e a sequência
dada por
O objetivo é mostrar que nenhum
é um quadrado perfeito. Vamos usar expansão pela recursão e um argumento de aritmética modular (raízes quadradas mod 4).
Passo 2
Vamos provar por indução que, para todo
,
Base
:
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
concluindo a fórmula fechada.
Passo 3
Observe que
e todos os demais
são ímpares. Logo
Daí
Passo 4
Sabemos que um quadrado perfeito
satisfaz
ou
. Mas acabamos de ver que
para todo
. Portanto nenhum
pode ser um quadrado perfeito.
Resposta
Nenhum
é quadrado perfeito.