Seja p1=2, p2=3, p3=5, ldots a sequência dos primos. Defina recursivamente a sequência ( Mi ) pondo
M1=3 e Mi=pi(Mi-1-1)+1, se i>1
Mostre que nenhum Mi é um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado define uma sequência de primos ,p1=2,p2=3,p3=5,dots e a sequência (Mi) dada por
M1=3, Mi = pil(Mi-1-1r)+1(i>1)
O objetivo é mostrar que nenhum Mi é um quadrado perfeito. Vamos usar expansão pela recursão e um argumento de aritmética modular (raízes quadradas mod 4).

Passo 2

Vamos provar por indução que, para todo i>=1,
Mi - 1 ;=;prodj=1^i pj
Base i=1: M1-1=3-1=2=p1.
Passo indutivo: suponha Mi-1-1=prodj=1^i-1pj. Então
Mi-1 = pil(Mi-1-1r) = pi;prodj=1^i-1pj = prodj=1^ipj,
concluindo a fórmula fechada.

Passo 3

Observe que p1=2 e todos os demais pj são ímpares. Logo
prodj=1^ipj =2;times(produto de primos ímpares) equiv2pmod4 í
Daí
Mi = l(Mi-1r)+1 equiv2+1equiv3pmod4

Passo 4

Sabemos que um quadrado perfeito x^2 satisfaz x^2equiv0 ou 1pmod4. Mas acabamos de ver que
Miequiv3pmod4
para todo i. Portanto nenhum Mi pode ser um quadrado perfeito.

Resposta

Nenhum Mi é quadrado perfeito.

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