O que é uma base ortonormal? Exemplifique.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é uma base ortonormal num espaço vetorial com produto interno. Vamos precisar lembrar dos conceitos de produto interno, norma de um vetor, ortogonalidade e base (geração e independência linear).
Passo 2
Um conjunto de vetores
Isso garante que cada , e que vetores diferentes sejam mutuamente ortogonais.
Passo 3
Por outro lado, um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial
se for linearmente independente e seu fecho linear (span) for todo
. Ou seja, qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear única desses vetores.
Passo 4
Já uma base ortonormal é simplesmente uma base que, além de gerar todo o espaço e ser independente, forma também um conjunto ortonormal conforme definido. Em notação,
Passo 5
Exemplo em
com o produto interno padrão
:
-
A base canônica
é ortonormal porque
e cada vetor tem norma 1. -
Outra base ortonormal épois
e.
Resposta
Uma base ortonormal de um espaço vetorial com produto interno é um conjunto de vetores que (i) é ortonormal, ou seja
e (ii) forma uma base, isto é, gera todo o espaço e é linearmente independente.
Exemplo em :
Exemplo em