O que é uma base ortonormal? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma base ortonormal num espaço vetorial com produto interno. Vamos precisar lembrar dos conceitos de produto interno, norma de um vetor, ortogonalidade e base (geração e independência linear).

Passo 2

Um conjunto de vetores
Isso garante que cada , e que vetores diferentes sejam mutuamente ortogonais.

Passo 3

Por outro lado, um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial V se for linearmente independente e seu fecho linear (span) for todo V. Ou seja, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear única desses vetores.

Passo 4

Já uma base ortonormal é simplesmente uma base que, além de gerar todo o espaço e ser independente, forma também um conjunto ortonormal conforme definido. Em notação,
v1,dots,vn é base ortonormal de V Long<=ftrightarrow spanv1,dots,vn=V, lang<= vi,vjrang<==de<aij(de<aij=1 se i=j,0 caso contrário) éá

Passo 5

Exemplo em R^2 com o produto interno padrão lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2:
  1. A base canônica (1,0),(0,1) é ortonormal porque
    lang<=(1,0),(0,1)rang<==0 e cada vetor tem norma 1.
  2. Outra base ortonormal é
    ltfrac1raiz2(1,1),;tfrac1raiz2(1,-1)r,
    pois
    lang<=tfrac1raiz2(1,1),tfrac1raiz2(1,-1)rang<==0
    e |tfrac1raiz2(1,pm1)|=1.

Resposta

Uma base ortonormal de um espaço vetorial com produto interno é um conjunto de vetores que (i) é ortonormal, ou seja
lang<= vi,vjrang<==de<aij,
e (ii) forma uma base, isto é, gera todo o espaço e é linearmente independente.
Exemplo em R^2:
(1,0),(0,1) ou ltfrac1raiz2(1,1),;tfrac1raiz2(1,-1)r

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